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問題｜定積分で表された関数のグラフ
微分と積分 43☆関数 \(f(x)=\displaystyle\int_0^x(t-1)(t+2)\,dt\) のグラフの描き方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
定積分で表された関数のグラフ
Point：定積分で表された関数のグラフ
① 定積分を計算し、\(f(x)\) を \(x\) の関数の式で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\int_0^x(t-1)(t+2)\,dt\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-2t\,\right]_0^x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-2x\end{eqnarray}\)
② \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求め、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=x^2+x-2&=&0\\[3pt]~~~(x-1)(x+2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)
③ ②の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
④ 増減表を作り、\(y=f(x)\) のグラフを描く。
定積分で表された関数のグラフは、
① 定積分を計算し、\(f(x)\) を \(x\) の関数の式で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\int_0^x(t-1)(t+2)\,dt\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-2t\,\right]_0^x\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-2x\end{eqnarray}\)
② \(f(x)\) を微分して、導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求め、\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)=x^2+x-2&=&0\\[3pt]~~~(x-1)(x+2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)
③ ②の \(x\) の値の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号と、\(f(x)\) の値を求める。
④ 増減表を作り、\(y=f(x)\) のグラフを描く。
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詳しい解説｜定積分で表された関数のグラフ
微分と積分 43☆
関数 \(f(x)=\displaystyle\int_0^x(t-1)(t+2)\,dt\) のグラフの描き方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
定積分を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\int_0^x(t-1)(t+2)\,dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^x(t^2+t-2)\,dt\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-2t\,\right]_0^x\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-2x\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-2x\end{eqnarray}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x^3)^{\prime}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(x^2)^{\prime}-2(x)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3x^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2x-2 \cdot 1\\[5pt]~~~&=&x^2+x-2\\[3pt]~~~&=&(x-1)(x+2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x-1)(x+2)=0\\[3pt]~~~&&x=-2~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-2 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、\(x=-2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-2)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-2)^2-2 \cdot (-2)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+18\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2-2 \cdot 1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+3-12\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -2 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,} & \searrow & -\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,} & \nearrow\end{array}\)
したがって、点 \(\left(-2~,~\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\right)~,~\)\(\left(1~,~-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\right)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-2x\) のグラフは、
