このページは、「定積分で表された関数のグラフ」の練習問題アーカイブページとなります。
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定積分で表された関数のグラフ で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(f(x)=\displaystyle\int_0^x(t-1)(t+3)\,dt\) のグラフをかけ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.244 問題 18
定積分を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\int_0^x(t-1)(t+3)\,dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^x(t^2+2t-3)\,dt\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+t^2-3t\,\right]_0^x\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2-3x\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2-3x\end{eqnarray}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x^3)^{\prime}+(x^2)^{\prime}-3(x)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3x^2+2x-3 \cdot 1\\[5pt]~~~&=&x^2+2x-3\\[3pt]~~~&=&(x-1)(x+3)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x-1)(x+3)=0\\[3pt]~~~&&x=-3~,~1\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt -3\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(-3 \lt x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(1 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、\(x=-3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(-3)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3+(-3)^2-3 \cdot (-3)\\[5pt]~~~&=&-9+9+9\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+1^2-3 \cdot 1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+3-9\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & -3 & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 9 & \searrow & -\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,} & \nearrow\end{array}\)
したがって、点 \(\left(-3~,~9\right)~,~\)\(\left(1~,~-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)\) を通り、\(y\) 切片が \(0\) より、
\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2-3x\) のグラフは、
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02関数 \(f(x)=\displaystyle\int_1^x(t-1)(t-2)\,dt\) の極大値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.229 章末問題A 8
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.220 章末問題A 7
定積分を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\int_1^x(t-1)(t-2)\,dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^x(t^2-3t+2)\,dt\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}t^2+2t\,\right]_1^x\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}t^2+2t\) に、
\(t=x\)を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+2x\end{eqnarray}\)
\(t=1\)を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot 1^2+2\cdot 1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-9+12\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{f(x)}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+2x-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x^3)^{\prime}-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(x^2)^{\prime}+2(x)^{\prime}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3x^2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 2x+2 \cdot 1\\[5pt]~~~&=&x^2-3x+2\\[3pt]~~~&=&(x-1)(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x-1)(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=1~,~2\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 1\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(1 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、\(x=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 1^2+2 \cdot 1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+2-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-9+12-5\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 1 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & \nearrow\end{array}\)
したがって、\(x=1\) のとき、極大値 \(0\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の \(x\) についての関数 \(f(x)\) の極値を求めよ。
\(f(x)=\displaystyle\int_0^x3t(t-2)\,dt\)
\(f(x)=\displaystyle\int_0^x3t(t-2)\,dt\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.245 練習問題B 11
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.249 Level Up 9
定積分を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(x)&=&\displaystyle\int_0^x3t(t-2)\,dt\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^x(3t^2-6t)\,dt\\[5pt]~~~&=&\left[\,t^3-3t^2\,\right]_0^x\\[5pt]~~~&=&x^3-3x^2\end{eqnarray}\)
\(f(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&3x^2-6x\\[3pt]~~~&=&3x(x-2)\end{eqnarray}\)
\(f^{\prime}(x)=0\) となる \(x\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&3x(x-2)=0\\[3pt]~~~&&x=0~,~2\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=f^{\prime}(x)\) のグラフより、
よって、この \(x\) の前後での \(f^{\prime}(x)\) の符号は、
\(x \lt 0\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
\(0 \lt x \lt 2\) のとき、\(f^{\prime}(x) \lt 0\)
\(2 \lt x\) のとき、\(f^{\prime}(x) \gt 0\)
さらに、\(x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0^3-3 \cdot 0^2\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~f(2)&=&2^3-3 \cdot 2^2\\[3pt]~~~&=&8-12\\[3pt]~~~&=&-4\end{eqnarray}\)
これより、\(f^{\prime}(x)\) の符号と \(f(x)\) の増減は、
\(\begin{array}{c|ccccc}x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots \\\hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & 0 & \searrow & -4 & \nearrow\end{array}\)
したがって、
\(x=0\) のとき、極大値 \(0\)
\(x=2\) のとき、極小値 \(-4\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(a\) は定数とする。定積分 \(\displaystyle\int_{-1}^1\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(ax+a+1)^2\,dx\) の値が最小となるような \(a\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.244 問題 17
\(\displaystyle\int_{-1}^1\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(ax+a+1)^2\,dx\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^1\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(ax+a+1)^2\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\displaystyle\int_{-1}^1(ax+a+1)^2\,dx\end{eqnarray}\)
\((ax+a+1)^2\) を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(ax+a+1)^2\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+2a(a+1)x+(a+1)^2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\displaystyle\int_{-1}^1\left\{a^2x^2+2a(a+1)x+(a+1)^2\right\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left[\,\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}x^3+a(a+1)x^2+(a+1)^2x\,\right]_{-1}^1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+a(a+1)+(a+1)^2-\left(-\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+a(a+1)-(a+1)^2\right)\right\}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+a(a+1)+(a+1)^2+\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}-a(a+1)+(a+1)^2\right)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}a^2+2(a+1)^2\right)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^2+(a+1)^2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^2+a^2+2a+1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}a^2+2a+1\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(g(a)=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}a^2+2a+1\) とおくと、これは \(a\) の2次関数で、\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \gt 0\) より下に凸の放物線なので、
平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~g(a)&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}a^2+2a+1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\left(a^2+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}a\right)+1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\left(a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}+1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\left(a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}+1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\left(a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) のとき最小となる
