定積分∫xf(t)dtを含む関数

　\(f(x)=x^2+\displaystyle\int_0^2 xf(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

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\(\displaystyle\int_0^2 xf(t)\,dt\) において、\(x\) は \(t\) に関係のない定数より、

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　\(\displaystyle\int_0^2 xf(t)\,dt=x \, \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\)

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ここで、定数 \(a\) を用いて、

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　\(a=\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)

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とすると、\({\small [\,1\,]}\) より、

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　\(f(x)=x^2+ax\)

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よって、\(f(t)=t^2+at\) として \({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle\int_0^2 (t^2+at)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}t^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \cdot 2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2a\end{eqnarray}\)

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左辺も \(a\) であることより、

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\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2a\\[5pt]~~~-a&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~a&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、

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　\(f(x)=x^2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}x\) となる