このページは、「定積分∫xf(t)dtを含む関数」の練習問題アーカイブページとなります。
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定積分∫xf(t)dtを含む関数 で確認できます。
問題アーカイブ01
\(f(x)=x^2+\displaystyle\int_{-1}^{0} xf(t)\,dt+\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.245 演習問題B 7
\(f(x)=x^2+\displaystyle\int_{-1}^{0} xf(t)\,dt+\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\displaystyle\int_{-1}^{0} xf(t)\,dt\) において、\(x\) は \(t\) に関係のない定数より、
\(\displaystyle\int_{-1}^{0} xf(t)\,dt=x \cdot \displaystyle\int_{-1}^{0} f(t)\,dt\)
ここで、定数 \(a~,~b\) を用いて、
\(a=\displaystyle\int_{-1}^{0} f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(b=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
とすると、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^2+ax+b\)
よって、\(f(t)=t^2+at+b\) として \({\small [\,2\,]}\) より、
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}t^2+bt\,\right]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&0-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}-b\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
左辺も \(a\) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}a&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+b\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}b~~~\cdots {\rm [\,A\,]}\end{eqnarray}\)
同様に、\(f(t)=t^2+at+b\) として \({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&\displaystyle\int_0^1 (t^2+at+b)\,dt
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}t^2+bt\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \cdot 1^2+b \cdot 1\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\end{eqnarray}\)
左辺も \(b\) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\\[5pt]~~~0&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~a&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~~~\cdots {\rm [\,B\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,B\,]}\) を \({\rm [\,A\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}b\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}b&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}b&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~b&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) より、
\(f(x)=x^2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ02
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.244 練習問題A 7
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.249 Level Up 8
\(f(x)=x^2+2\displaystyle\int_{-1}^{3} xf(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(2\displaystyle\int_{-1}^{3} xf(t)\,dt\) において、\(x\) は \(t\) に関係のない定数より、
\(2\displaystyle\int_{-1}^{3} xf(t)\,dt=2x \cdot \displaystyle\int_{-1}^{3} f(t)\,dt\)
ここで、定数 \(a\) を用いて、
\(a=\displaystyle\int_{-1}^{3} f(t)\,dt~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
とすると、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(f(x)=x^2+2ax\)
よって、\(f(t)=t^2+2at\) として \({\small [\,2\,]}\) より、
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}t^3+at^2\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+a \cdot 3^2\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+a \cdot (-1)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&(9+9a)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a\right)
\\[5pt]~~~&=&9+9a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-a
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,28\,}{\,3\,}+8a\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
左辺も \(a\) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\displaystyle \frac{\,28\,}{\,3\,}+8a\\[5pt]~~~-7a&=&\displaystyle \frac{\,28\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~a&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(f(x)=x^2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}x\) となる
