- 数学Ⅱ｜微分と積分「1次関数の定積分の不等式」の基本例題解説ページです。
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問題｜1次関数の定積分の不等式
微分と積分 45☆１次関数 \(f(x)\) について、不等式 \(\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx \gt \left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
1次関数の定積分の不等式
Point：1次関数の定積分の不等式
① 1次関数を \(f(x)=ax+b~~(a \neq 0)\) とおく。
② \(\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx\) と \(\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2\) をそれぞれ計算する。
③ \(\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx-\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2\) を計算し、0より大きいことを示し、不等式を証明する。
1次関数 \(f(x)\) の2乗の定積分と \(f(x)\) の定積分の2乗の大小の証明は、
① 1次関数を \(f(x)=ax+b~~(a \neq 0)\) とおく。
② \(\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx\) と \(\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2\) をそれぞれ計算する。
③ \(\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx-\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2\) を計算し、0より大きいことを示し、不等式を証明する。
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詳しい解説｜1次関数の定積分の不等式
微分と積分 45☆
１次関数 \(f(x)\) について、不等式 \(\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx \gt \left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
[証明] 1次関数を \(f(x)=ax+b~~(a \neq 0)\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(ax+b)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(a^2x^2+2abx+b^2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}x^3+abx^2+b^2x\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(ax+b)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}x^2+bx\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}+ab+b^2\end{eqnarray}\)
以上より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx-\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}+ab+b^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2-\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}-ab-b^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4a^2-3a^2\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,12\,} \gt 0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx \gt \left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2\) [終]
