このページは、「1次関数の定積分の不等式」の練習問題アーカイブページとなります。
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1次関数の定積分の不等式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の不等式を証明せよ。ただし、\(p\) と \(q\) は定数とする。
\(\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx{\small ~≧~}\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2\)
\(\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx{\small ~≧~}\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.245 演習問題A 3
[証明] \(\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(p^2x^2+2pqx+q^2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}x^3+pqx^2+q^2x\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}+pq+q^2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}x^2+qx\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}+q\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,p\,}{\,2\,}+q\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,4\,}+pq+q^2\end{eqnarray}\)
以上より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx-\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}+pq+q^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,4\,}+pq+q^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,3\,}+pq+q^2-\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,4\,}-pq-q^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4p^2-3p^2\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,12\,}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\int_0^1(px+q)^2\,dx{\small ~≧~}\left\{\displaystyle\int_0^1(px+q)\,dx\right\}^2\) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02どのような1次関数 \(f(x)\) に対しても、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
\(\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2 \lt \displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx\)
\(\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2 \lt \displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.230 章末問題B 13
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.245 練習問題B 14
[証明] 1次関数を \(f(x)=ax+b~~(a \neq 0)\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(ax+b)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(a^2x^2+2abx+b^2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}x^3+abx^2+b^2x\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(ax+b)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}x^2+bx\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}+b\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}+ab+b^2\end{eqnarray}\)
以上より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx-\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}+ab+b^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,3\,}+ab+b^2-\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}-ab-b^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4a^2-3a^2\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,12\,} \gt 0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2 \lt \displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx\) [終]
