- 数学Ⅱ｜微分と積分「関数(ax+b)ⁿの定積分」の基本例題解説ページです。
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問題｜関数(ax+b)ⁿの定積分
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
関数(ax+b)ⁿの定積分
■ 関数 \((ax+b)^n\) の定積分
\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx\\[3pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a(n+1)\,}(ax+b)^{n+1}+C\end{eqnarray}\)
※ 関数 \(ax+b\) の \(x\) の係数 \(a\) の逆数もかける。
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詳しい解説｜関数(ax+b)ⁿの定積分
定積分 \(\displaystyle\int_0^1(2x+1)^3\,dx\) の不定積分の \(\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx\) の公式を使った計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
不定積分の公式
\(\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a(n+1)\,}(ax+b)^{n+1}+C\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(2x+1)^3\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2(3+1)\,}(2x+1)^{3+1}\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}(2x+1)^4\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}(2 \cdot 1+1)^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}(2 \cdot 0+1)^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,} \cdot 3^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,} \cdot 1^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,80\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&10\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\int_0^1(2x+1)^3\,dx=10\) となる
