- 数学Ⅱ｜微分と積分「x軸より上側の範囲の囲まれた面積」の基本例題解説ページです。
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問題｜x軸より上側の範囲の囲まれた面積
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
x軸より上側の範囲の囲まれた面積
区間 \(a{\small ~≦~}x{\small ~≦~}b\) の範囲で、常に \(f(x){\small ~≧~}0\) である曲線 \(y=f(x)\) と、曲線、2直線 \(x=a\) 、\(x=b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\)
■ 関数 \(y=x(x-a)^2\) のグラフは、\(a \gt 0\) とすると、\(x=a\) で重解をもつのでこの点で \(x\) 軸に接し、\(x^3\) の係数が正であるので、
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詳しい解説｜x軸より上側の範囲の囲まれた面積
\(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積、\(y=x^2-2x+3\) と \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(x=3\) で囲まれた図形の面積、\(y=x(x-2)^2\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸との交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+3x&=&0\\[3pt]~~~-x(x-3)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~3\end{eqnarray}\)
よって、2点 \((0~,~0)\) 、\((3~,~0)\) を通り、上に凸のグラフより、
これより、囲まれた図形は、曲線の上側にあり区間 \([\,0~,~3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^3(-x^2+3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^3
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-9+\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-18+27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y=x^2-2x+3\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(x^2-2x+1)-1+3\\[3pt]~~~&=&(x-1)^2+2\end{eqnarray}\)
頂点 \((1~,~2)\) の下に凸のグラフより、
これより、囲まれた図形は、曲線の上側にあり区間 \([\,0~,~3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^3(x^2-2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_0^3
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2+3x\,\right]_0^3
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-3^2+3 \cdot 3\right)-0
\\[3pt]~~~&=&9-9+9
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
\(y=x(x-2)^2\) と \(x\) 軸との交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-2)^2&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~2\end{eqnarray}\)
よって、2点 \((0~,~0)\) 、\((2~,~0)\) を通り、\(x=2\) が重解となり、\(x\) 軸と接し、\(x^3\) の係数が正であるので、
これより、囲まれた図形は、曲線の上側にあり区間 \([\,0~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^2 x(x-2)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2 x(x^2-4x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2(x^3-4x^2+4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3+2x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2 \cdot 2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&4-\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&12-\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36-32\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
