- 数学Ⅱ｜微分と積分「x軸より下側の範囲の囲まれた面積」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜x軸より下側の範囲の囲まれた面積
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
x軸より下側の範囲の囲まれた面積
区間 \(a{\small ~≦~}x{\small ~≦~}b\) の範囲で、常に \(f(x){\small ~≦~}0\) である曲線 \(y=f(x)\) と、\(x\) 軸、2直線 \(x=a~,~x=b\) に囲まれた面積 \(S\) は、
\(\displaystyle S=-\int_a^b f(x)\,dx\)
※ マイナスを付けた定積分となる。
■ 関数 \(y=x(x-a)^2\) のグラフは、\(a \lt 0\) とすると、\(x=a\) で重解をもつのでこの点で \(x\) 軸に接し、\(x^3\) の係数が正であるので、
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜x軸より下側の範囲の囲まれた面積
\(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積の求め方は？また、\(y=x(x+2)^2\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸との交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x&=&0\\[3pt]~~~x(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~2\end{eqnarray}\)
よって、2点 \((0~,~0)~,~(2~,~0)\) を通り、下に凸のグラフとなるので、
これより、囲まれた面積は \(x\) 軸より下側にあり、区間が \((0~,~2)\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_0^2(x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2(-x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+12\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(y=x(x+2)^2\) と \(x\) 軸との交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x+2)^2&=&0\\[3pt]~~~x&=&-2~,~0\end{eqnarray}\)
よって、2点 \((-2~,~0)~,~(0~,~0)\) を通り、\(x=-2\) の前後で \(x\) 軸に接し、\(x^3\) の係数が正であるので、
これより、囲まれた面積は \(x\) 軸より下側にあり、区間が \((-2~,~0)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_{-2}^{0}x(x+2)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-2}^{0}x(x^2+4x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-2}^{0}(x^3+4x^2+4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{0}(-x^3-4x^2-4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{-2}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3-2x^2\,\right]_{-2}^{0}
\\[5pt]~~~&=&0-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(-2)^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}(-2)^3-2(-2)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\left(-4+\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-\left(-12+\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&12-\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36-32\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
