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問題｜2つの部分に分けられた面積
微分と積分 49\(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸、\(x=1~,~\)\(x=3\) で囲まれた図形の面積の求め方は？また、\(y=x^3-4x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた２つの部分の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
2つの部分に分けられた面積
Point：2つの部分に分けられた面積
① 関数と \(x\) 軸との交点の座標を求める。
\(y=x^3-4x^2+3x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-1)(x-3)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~1~,~3\end{eqnarray}\)
② 囲まれた図形が \(x\) 軸より上側か下側かを調べて、それぞれの区間の面積を定積分より求める。
区間 \([\,0~,~1\,]\) において \(x\) 軸より上側
区間 \([\,1~,~3\,]\) において \(x\) 軸より下側
2つの部分に分けられた図形の面積は、
① 関数と \(x\) 軸との交点の座標を求める。
\(y=x^3-4x^2+3x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-1)(x-3)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~1~,~3\end{eqnarray}\)
② 囲まれた図形が \(x\) 軸より上側か下側かを調べて、それぞれの区間の面積を定積分より求める。
区間 \([\,0~,~1\,]\) において \(x\) 軸より上側
区間 \([\,1~,~3\,]\) において \(x\) 軸より下側
\(\displaystyle\int_0^1(x^3-4x^2+3x)\,dx-\displaystyle\int_1^3(x^3-4x^2+3x)\,dx\)
※ 数式は横にスクロールできます。
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詳しい解説｜2つの部分に分けられた面積
微分と積分 49\(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸、\(x=1~,~\)\(x=3\) で囲まれた図形の面積の求め方は？また、\(y=x^3-4x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた２つの部分の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸との交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x&=&0\\[3pt]~~~x(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~2\end{eqnarray}\)
よって、2点 \((0~,~0)~,~(2~,~0)\) を通り、下に凸のグラフで、
これより、\(x=1~,~x=3~,~x\) 軸で囲まれた図形は、
区間 \([\,1~,~2\,]\) では \(x\) 軸より下側
区間 \([\,2~,~3\,]\) では \(x\) 軸より上側
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_1^2(x^2-2x)\,dx+\displaystyle\int_2^3(x^2-2x)\,dx\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_1^2(x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(-x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)+(4-1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-7+9\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_2^3(x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_2^3
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2\,\right]_2^3
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-3^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2\right)
\\[5pt]~~~&=&9-9-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+12\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(2\) となる
\(y=x^3-4x^2+3x\) と \(x\) 軸との交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-4x^2+3x&=&0\\[3pt]~~~x(x^2-4x+3)&=&0\\[3pt]~~~x(x-1)(x-3)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~1~,~3\end{eqnarray}\)
よって、3点 \((0~,~0)~,~(1~,~0)~,~(3~,~0)\) となり、\(x^3\) の係数が正なので、
これより、\(x\) 軸で囲まれた図形は、
区間 \([\,0~,~1\,]\) において \(x\) 軸より上側
区間 \([\,1~,~3\,]\) において \(x\) 軸より下側
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(x^3-4x^2+3x)\,dx-\displaystyle\int_1^3(x^3-4x^2+3x)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(x^3-4x^2+3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 1^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-16+18\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_1^3(x^3-4x^2+3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^3(-x^3+4x^2-3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^3
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^3
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 3^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 3^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}+36-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+\left(-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+36
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,80\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+36
\\[5pt]~~~&=&(-20-12+36)-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12-4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^3(-x^3+4x^2-3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^3
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^3
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 3^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 3^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}+36-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+\left(-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+36
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,80\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+36
\\[5pt]~~~&=&(-20-12+36)-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12-4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+32\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,37\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,37\,}{\,12\,}\) となる
