このページは、「2つの部分に分けられた面積」の練習問題アーカイブページとなります。
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2つの部分に分けられた面積 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01曲線 \(y=x^3-3x^2+2x\) と \(x\) 軸で囲まれた2つの部分の面積の和 \(S\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.237 練習38
\(y=x^3-3x^2+2x\) と \(x\) 軸との交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-3x^2+2x&=&0\\[3pt]~~~x(x^2-3x+2)&=&0\\[3pt]~~~x(x-1)(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~1~,~2\end{eqnarray}\)
よって、3点 \((0~,~0)~,~(1~,~0)~,~(2~,~0)\) となり、\(x^3\) の係数が正なので、
これより、\(x\) 軸で囲まれた図形は、
区間 \([\,0~,~1\,]\) において \(x\) 軸より上側
区間 \([\,1~,~2\,]\) において \(x\) 軸より下側
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S=\displaystyle\int_0^1(x^3-3x^2+2x)\,dx-\displaystyle\int_1^2(x^3-3x^2+2x)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1(x^3-3x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-x^3+x^2\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4-1^3+1^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-1+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_1^2(x^3-3x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(-x^3+3x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+x^3-x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4+2^3-2^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+1^3-1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&-4+8-4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-1+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(-x^3+3x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+x^3-x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4+2^3-2^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+1^3-1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&-4+8-4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-1+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積の和は \(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ022つの曲線 \(y=x^2-4\)（\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\)）、\(y=-x^2+2x\)（\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\)）と直線 \(x=3\) で囲まれた2つの部分の面積の和 \(S\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.237 練習39
2つの曲線の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4&=&-x^2+2x\\[3pt]~~~2x^2-2x-4&=&0\\[3pt]~~~x^2-x-2&=&0\\[3pt]~~~(x+1)(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)
グラフより、
区間 \([\,-1~,~2\,]\) では \(y=-x^2+2x\) が上側で \(y=x^2-4\) が下側
区間 \([\,2~,~3\,]\) では \(y=x^2-4\) が上側で \(y=-x^2+2x\) が下側
となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^2\{(-x^2+2x)-(x^2-4)\}\,dx+\displaystyle\int_2^3\{(x^2-4)-(-x^2+2x)\}\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^2\{(-x^2+2x)-(x^2-4)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^2(-2x^2+2x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{-1}^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+x^2+4x\,\right]_{-1}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2+4 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2+4 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+4+8\right)-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1-4\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+12-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-1+4
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)+(12-1+4)
\\[5pt]~~~&=&-6+15
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^2(-2x^2+2x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{-1}^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+x^2+4x\,\right]_{-1}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2+4 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2+4 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+4+8\right)-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1-4\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+12-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-1+4
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)+(12-1+4)
\\[5pt]~~~&=&-6+15
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_2^3\{(x^2-4)-(-x^2+2x)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_2^3(2x^2-2x-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-4x\,\right]_2^3
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3-x^2-4x\,\right]_2^3
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 3^3-3^2-4 \cdot 3\right)-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2-4 \cdot 2\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(18-9-12\right)-\left(\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-4-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+12
\\[5pt]~~~&=&9-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27-16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_2^3(2x^2-2x-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-4x\,\right]_2^3
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3-x^2-4x\,\right]_2^3
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 3^3-3^2-4 \cdot 3\right)-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2-4 \cdot 2\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(18-9-12\right)-\left(\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-4-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+12
\\[5pt]~~~&=&9-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27-16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&9+\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27+11\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,38\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積の和は \(S=\displaystyle \frac{\,38\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03曲線 \(y=x^2-4\) と \(x\) 軸、および2直線 \(x=-3~,~x=4\) で囲まれた部分の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.244 練習19(2)
\(y=x^2-4\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4&=&0\\[3pt]~~~(x+2)(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-2~,~2\end{eqnarray}\)
グラフより、
区間 \([\,-3~,~-2\,]\) では \(x\) 軸より上側
区間 \([\,-2~,~2\,]\) では \(x\) 軸より下側
区間 \([\,2~,~4\,]\) では \(x\) 軸より上側
となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-3}^{-2}(x^2-4)\,dx-\displaystyle\int_{-2}^2(x^2-4)\,dx+\displaystyle\int_2^4(x^2-4)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{-2}(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4x\,\right]_{-3}^{-2}
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-4 \cdot (-2)\right\}-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-4 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8\right)-\left(-9+12\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8-3
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+5
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+15\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4x\,\right]_{-3}^{-2}
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-4 \cdot (-2)\right\}-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-4 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8\right)-\left(-9+12\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8-3
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+5
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+15\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_{-2}^2(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^2(-x^2+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4x\,\right]_{-2}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+4 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+4 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8\right)-\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+16
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+48\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^2(-x^2+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4x\,\right]_{-2}^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+4 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+4 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8\right)-\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+16
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+48\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_2^4(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4x\,\right]_2^4
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 4^3-4 \cdot 4\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-4 \cdot 2\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}-16\right)-\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}-16-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,56\,}{\,3\,}-8
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,56-24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4x\,\right]_2^4
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 4^3-4 \cdot 4\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-4 \cdot 2\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}-16\right)-\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}-16-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,56\,}{\,3\,}-8
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,56-24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,71\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた部分の面積は \(S=\displaystyle \frac{\,71\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の曲線と \(x\) 軸で囲まれた2つの部分の面積の和 \(S\) を求めよ。
\(y=x^3-x^2-2x\)
\(y=x^3-x^2-2x\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.224 練習42
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.218 研究 練習2
\(y=x^3-x^2-2x\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-x^2-2x&=&0\\[3pt]~~~x(x^2-x-2)&=&0\\[3pt]~~~x(x+1)(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~0~,~2\end{eqnarray}\)
グラフより、
区間 \([\,-1~,~0\,]\) では \(x\) 軸より上側
区間 \([\,0~,~2\,]\) では \(x\) 軸より下側
となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-x^2-2x)\,dx-\displaystyle\int_0^2(x^3-x^2-2x)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{-1}^0
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2\,\right]_{-1}^0
\\[5pt]~~~&=&0-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-1)^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-(-1)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-3-4+12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{-1}^0
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2\,\right]_{-1}^0
\\[5pt]~~~&=&0-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-1)^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-(-1)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-3-4+12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_0^2(x^3-x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2(-x^3+x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-4+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2(-x^3+x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-4+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+32\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,37\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積の和は \(S=\displaystyle \frac{\,37\,}{\,12\,}\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05曲線 \(y=-x^3+4x\) と \(x\) 軸で囲まれた2つの部分の面積の和 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.233 問16
\(y=-x^3+4x\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^3+4x&=&0\\[3pt]~~~-x(x^2-4)&=&0\\[3pt]~~~-x(x+2)(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-2~,~0~,~2\end{eqnarray}\)
グラフより、
区間 \([\,-2~,~0\,]\) では \(x\) 軸より下側
区間 \([\,0~,~2\,]\) では \(x\) 軸より上側
となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&-\displaystyle\int_{-2}^0(-x^3+4x)\,dx+\displaystyle\int_0^2(-x^3+4x)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_{-2}^0(-x^3+4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^0(x^3-4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{-2}^0
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-2x^2\,\right]_{-2}^0
\\[5pt]~~~&=&0-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-2)^4-2 \cdot (-2)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&-(4-8)
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^2(-x^3+4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+2x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4+2 \cdot 2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-4+8
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&4+4\\[3pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積の和は \(S=8\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06曲線 \(y=x^3-3x^2\) と直線 \(y=-2x\) で囲まれた2つの部分の面積の和 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.238 問題21
曲線 \(y=x^3-3x^2\) と直線 \(y=-2x\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-3x^2&=&-2x\\[3pt]~~~x^3-3x^2+2x&=&0\\[3pt]~~~x(x^2-3x+2)&=&0\\[3pt]~~~x(x-1)(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~1~,~2\end{eqnarray}\)
グラフより、
区間 \([\,0~,~1\,]\) では曲線が直線より上側
区間 \([\,1~,~2\,]\) では直線が曲線より上側
となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_0^1\{(x^3-3x^2)-(-2x)\}\,dx+\displaystyle\int_1^2\{(-2x)-(x^3-3x^2)\}\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^1\{(x^3-3x^2)-(-2x)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(x^3-3x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-x^3+x^2\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4-1^3+1^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-1+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_1^2\{(-2x)-(x^3-3x^2)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(-x^3+3x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+x^3-x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4+2^3-2^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+1^3-1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&(-4+8-4)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+1-1\right)
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(-x^3+3x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+x^3-x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4+2^3-2^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+1^3-1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&(-4+8-4)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+1-1\right)
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積の和は \(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07曲線 \(y=-x^3+3x^2-2x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.246 Challenge 問1
\(y=-x^3+3x^2-2x\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^3+3x^2-2x&=&0\\[3pt]~~~-x(x^2-3x+2)&=&0\\[3pt]~~~-x(x-1)(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~1~,~2\end{eqnarray}\)
グラフより、
区間 \([\,0~,~1\,]\) では \(x\) 軸より下側
区間 \([\,1~,~2\,]\) では \(x\) 軸より上側
となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&-\displaystyle\int_0^1(-x^3+3x^2-2x)\,dx+\displaystyle\int_1^2(-x^3+3x^2-2x)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_0^1(-x^3+3x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(x^3-3x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-x^3+x^2\,\right]_0^1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4-1^3+1^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-1+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_1^2(-x^3+3x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+x^3-x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4+2^3-2^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+1^3-1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&(-4+8-4)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+1-1\right)
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+x^3-x^2\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4+2^3-2^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+1^3-1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&(-4+8-4)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+1-1\right)
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる
