- 数学Ⅱ｜微分と積分「2つの曲線の間の面積」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜2つの曲線の間の面積
微分と積分 50\(y=x^2+x-1\) と \(y=2x+1\) で囲まれた図形の面積の求め方は？また、\(y=x^2+3x-7\) と \(y=-x^2+x+5\) で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
2つの曲線の間の面積
Point：2つの曲線の間の面積
① 2つの曲線を連立し、交点の \(x\) 座標を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+x-1&=&2x+1
\\[3pt]~~~(x+1)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~2
\end{eqnarray}\)
② どちらの曲線が上側かを区間で確認し、（上側）－（下側）の積分より面積を求める。
\(\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(2x+1)-(x^2+x-1)\}\,dx\)
2つの曲線で囲まれた面積は、
① 2つの曲線を連立し、交点の \(x\) 座標を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+x-1&=&2x+1
\\[3pt]~~~(x+1)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~2
\end{eqnarray}\)
② どちらの曲線が上側かを区間で確認し、（上側）－（下側）の積分より面積を求める。
\(\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(2x+1)-(x^2+x-1)\}\,dx\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜2つの曲線の間の面積
微分と積分 50
\(y=x^2+x-1\) と \(y=2x+1\) で囲まれた図形の面積の求め方は？また、\(y=x^2+3x-7\) と \(y=-x^2+x+5\) で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
放物線 \(y=x^2+x-1\) と直線 \(y=2x+1\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+x-1&=&2x+1
\\[3pt]~~~x^2-x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=x^2+x-1\) は下に凸であるので、
よって、囲まれた図形の面積は、直線 \(y=2x+1\) が上側、放物線 \(y=x^2+x-1\) が下側で、区間が \([\,-1~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(2x+1)-(x^2+x-1)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1-x^2-x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2+2 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2+2 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+(2+4+2)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+8
\\[5pt]~~~&=&5-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1-x^2-x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2+2 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2+2 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+(2+4+2)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+8
\\[5pt]~~~&=&5-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる
放物線 \(y=x^2+3x-7\) と放物線 \(y=-x^2+x+5\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+3x-7&=&-x^2+x+5
\\[3pt]~~~2x^2+2x-12&=&0
\\[3pt]~~~2(x^2+x-6)&=&0
\\[3pt]~~~2(x+3)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3~,~2\end{eqnarray}\)
これより、
囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2+x+5\) が上側、放物線 \(y=x^2+3x-7\) が下側で、区間が \([\,-3~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{2}\{(-x^2+x+5)-(x^2+3x-7)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-x^2+x+5-x^2-3x+7)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-2x^2-2x+12)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3-x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2+12 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-(-3)^2+12 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-4+24-(18-9-36)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+20+27
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+47
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+141\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-x^2+x+5-x^2-3x+7)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-2x^2-2x+12)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3-x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2+12 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-(-3)^2+12 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-4+24-(18-9-36)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+20+27
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+47
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+141\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\) となる
