このページは、「2つの曲線の間の面積」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
2つの曲線の間の面積 で確認できます。
目次
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の曲線や直線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(y=x^2-2x-3~,~\)\(y=2x-3\)
\({\small (2)}~\)\(y=x^2-6x+7~,~\)\(y=-x^2+2x+1\)
\({\small (1)}~\)\(y=x^2-2x-3~,~\)\(y=2x-3\)
\({\small (2)}~\)\(y=x^2-6x+7~,~\)\(y=-x^2+2x+1\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.235 練習35
\({\small (1)}~\)放物線 \(y=x^2-2x-3\) と直線 \(y=2x-3\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x-3&=&2x-3
\\[3pt]~~~x^2-4x&=&0
\\[3pt]~~~x(x-4)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~4\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=x^2-2x-3\) は下に凸であるので、
よって、囲まれた図形の面積は、直線 \(y=2x-3\) が上側、放物線 \(y=x^2-2x-3\) が下側で、区間が \([\,0~,~4\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{0}^{4}\{(2x-3)-(x^2-2x-3)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{4}(2x-3-x^2+2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{4}(-x^2+4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{4}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x^2\,\right]_{0}^{4}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 4^3+2 \cdot 4^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3+2 \cdot 0^2\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}+32-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-64+96\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{4}(2x-3-x^2+2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{4}(-x^2+4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{4}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x^2\,\right]_{0}^{4}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 4^3+2 \cdot 4^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3+2 \cdot 0^2\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}+32-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-64+96\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) となる
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2-6x+7\) と放物線 \(y=-x^2+2x+1\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-6x+7&=&-x^2+2x+1
\\[3pt]~~~2x^2-8x+6&=&0
\\[3pt]~~~2(x^2-4x+3)&=&0
\\[3pt]~~~2(x-1)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~3\end{eqnarray}\)
これより、
囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2+2x+1\) が上側、放物線 \(y=x^2-6x+7\) が下側で、区間が \([\,1~,~3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{1}^{3}\{(-x^2+2x+1)-(x^2-6x+7)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^2+2x+1-x^2+6x-7)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{3}(-2x^2+8x-6)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+8 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-6x\,\right]_{1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+4x^2-6x\,\right]_{1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 3^3+4 \cdot 3^2-6 \cdot 3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 1^3+4 \cdot 1^2-6 \cdot 1\right)
\\[5pt]~~~&=&-18+36-18+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-4+6
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^2+2x+1-x^2+6x-7)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{3}(-2x^2+8x-6)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+8 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-6x\,\right]_{1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+4x^2-6x\,\right]_{1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 3^3+4 \cdot 3^2-6 \cdot 3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 1^3+4 \cdot 1^2-6 \cdot 1\right)
\\[5pt]~~~&=&-18+36-18+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-4+6
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の曲線や直線で囲まれた部分の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(y=x^2~,~\)\(y=-x+2\)
\({\small (2)}~\)\(y=-x^2+3~,~\)\(y=2x\)
\({\small (3)}~\)\(y=-x^2+3x~,~\)\(y=x^2-x-6\)
\({\small (1)}~\)\(y=x^2~,~\)\(y=-x+2\)
\({\small (2)}~\)\(y=-x^2+3~,~\)\(y=2x\)
\({\small (3)}~\)\(y=-x^2+3x~,~\)\(y=x^2-x-6\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.223 練習41
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.216 練習38
\({\small (1)}~\)放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=-x+2\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&-x+2
\\[3pt]~~~x^2+x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+2)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=x^2\) は下に凸であるので、
よって、囲まれた部分の面積は、直線 \(y=-x+2\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,-2~,~1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}\{(-x+2)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-2}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+2 \cdot 1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+(2+2+4)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+8
\\[5pt]~~~&=&5-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-2}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+2 \cdot 1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+(2+2+4)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+8
\\[5pt]~~~&=&5-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=-x^2+3\) と直線 \(y=2x\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+3&=&2x
\\[3pt]~~~x^2+2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x+3)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3~,~1\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=-x^2+3\) は上に凸であるので、
よって、囲まれた部分の面積は、放物線 \(y=-x^2+3\) が上側、直線 \(y=2x\) が下側で、区間が \([\,-3~,~1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-3}^{1}\{(-x^2+3)-2x\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{1}(-x^2-2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_{-3}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2+3x\,\right]_{-3}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-1^2+3 \cdot 1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-(-3)^2+3 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1+3-(9-9-9)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+2+9
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+11
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+33\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{1}(-x^2-2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_{-3}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2+3x\,\right]_{-3}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-1^2+3 \cdot 1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-(-3)^2+3 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1+3-(9-9-9)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+2+9
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+11
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+33\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) となる
\({\small (3)}~\)放物線 \(y=-x^2+3x\) と放物線 \(y=x^2-x-6\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+3x&=&x^2-x-6
\\[3pt]~~~2x^2-4x-6&=&0
\\[3pt]~~~2(x^2-2x-3)&=&0
\\[3pt]~~~2(x-3)(x+1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~3\end{eqnarray}\)
これより、
囲まれた部分の面積は、放物線 \(y=-x^2+3x\) が上側、放物線 \(y=x^2-x-6\) が下側で、区間が \([\,-1~,~3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}\{(-x^2+3x)-(x^2-x-6)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+3x-x^2+x+6)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}(-2x^2+4x+6)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+6x\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+2x^2+6x\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 3^3+2 \cdot 3^2+6 \cdot 3\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+2 \cdot (-1)^2+6 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-18+18+18-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-2+6
\\[5pt]~~~&=&22-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,66-2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+3x-x^2+x+6)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}(-2x^2+4x+6)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+6x\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+2x^2+6x\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 3^3+2 \cdot 3^2+6 \cdot 3\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+2 \cdot (-1)^2+6 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-18+18+18-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-2+6
\\[5pt]~~~&=&22-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,66-2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の曲線や直線で囲まれた部分の面積 \(S\) を求めよ。
\(y=x^2~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\)
\(y=x^2~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.228 問題16(1)
放物線 \(y=x^2\) と放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2&=&2
\\[5pt]~~~x^2&=&4
\\[3pt]~~~x&=&\pm 2\end{eqnarray}\)
これより、
囲まれた部分の面積は、放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,-2~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\right)-x^2\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}x^3+2x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 2^3+2 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}+4-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}+4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}x^3+2x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 2^3+2 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}+4-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}+4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ042つの放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2~,~\)\(y=x^2+x+1\) と2直線 \(x=1~,~\)\(x=2\) で囲まれた部分の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.216 練習37
区間 \([\,1~,~2\,]\) では常に \(x^2+x+1 \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\) となるので、放物線 \(y=x^2+x+1\) が上側、放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\) が下側となる
囲まれた部分の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{1}^{2}\left\{(x^2+x+1)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x+1\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2+2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}+2+2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8-1-3\,}{\,6\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+9\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x+1\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2+2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}+2+2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8-1-3\,}{\,6\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+9\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05放物線 \(y=x^2\) と次の放物線で囲まれた部分の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(y=-x^2+2x+4\)
\({\small (2)}~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\)
\({\small (1)}~\)\(y=-x^2+2x+4\)
\({\small (2)}~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.219 補充問題 9
\({\small (1)}~\)放物線 \(y=x^2\) と放物線 \(y=-x^2+2x+4\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&-x^2+2x+4
\\[3pt]~~~2x^2-2x-4&=&0
\\[3pt]~~~2(x^2-x-2)&=&0
\\[3pt]~~~2(x-2)(x+1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)
これより、
囲まれた部分の面積は、放物線 \(y=-x^2+2x+4\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,-1~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(-x^2+2x+4)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+x^2+4x\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2+4 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2+4 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+4+8-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-1+4
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)+(4+8-1+4)
\\[5pt]~~~&=&-6+15
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+x^2+4x\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2+4 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2+4 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+4+8-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-1+4
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)+(4+8-1+4)
\\[5pt]~~~&=&-6+15
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=9\) となる
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2\) と放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2&=&2
\\[5pt]~~~x^2&=&4
\\[3pt]~~~x&=&\pm 2\end{eqnarray}\)
これより、
囲まれた部分の面積は、放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,-2~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\right)-x^2\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}x^3+2x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 2^3+2 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}+4-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}+4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}x^3+2x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 2^3+2 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}+4-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,6\,}+4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06次の曲線または直線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(y=-x^2-2x~,~\)\(y=-x\)
\({\small (2)}~\)\(y=x^2+2x~,~\)\(y=x+2\)
\({\small (3)}~\)\(y=2x^2~,~\)\(y=x^2+2x+3\)
\({\small (1)}~\)\(y=-x^2-2x~,~\)\(y=-x\)
\({\small (2)}~\)\(y=x^2+2x~,~\)\(y=x+2\)
\({\small (3)}~\)\(y=2x^2~,~\)\(y=x^2+2x+3\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.235 問17
\({\small (1)}~\)放物線 \(y=-x^2-2x\) と直線 \(y=-x\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2-2x&=&-x
\\[3pt]~~~x^2+x&=&0
\\[3pt]~~~x(x+1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~0\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=-x^2-2x\) は上に凸であるので、
よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2-2x\) が上側、直線 \(y=-x\) が下側で、区間が \([\,-1~,~0\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}\{(-x^2-2x)-(-x)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x^2-2x+x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x^2-x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&0-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2-3\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) となる
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2+2x\) と直線 \(y=x+2\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+2x&=&x+2
\\[3pt]~~~x^2+x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+2)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=x^2+2x\) は下に凸であるので、
よって、囲まれた図形の面積は、直線 \(y=x+2\) が上側、放物線 \(y=x^2+2x\) が下側で、区間が \([\,-2~,~1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}\{(x+2)-(x^2+2x)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-2}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+2 \cdot 1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+(2+2+4)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+8
\\[5pt]~~~&=&5-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-2}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+2 \cdot 1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+(2+2+4)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+8
\\[5pt]~~~&=&5-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (3)}~\)放物線 \(y=2x^2\) と放物線 \(y=x^2+2x+3\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~2x^2&=&x^2+2x+3
\\[3pt]~~~x^2-2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x-3)(x+1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~3\end{eqnarray}\)
これより、
囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=x^2+2x+3\) が上側、放物線 \(y=2x^2\) が下側で、区間が \([\,-1~,~3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}\{(x^2+2x+3)-2x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+3x\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+3^2+3 \cdot 3\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2+3 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-9+9+9-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1+3
\\[5pt]~~~&=&11-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,33-1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+3x\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+3^2+3 \cdot 3\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2+3 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-9+9+9-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1+3
\\[5pt]~~~&=&11-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,33-1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07次の図形の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)2つの放物線 \(y=x^2-2x-8~,~\)\(y=-2x^2+x+10\) で囲まれた図形
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=2x+1\) で囲まれた図形
\({\small (1)}~\)2つの放物線 \(y=x^2-2x-8~,~\)\(y=-2x^2+x+10\) で囲まれた図形
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=2x+1\) で囲まれた図形
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.238 問題 20
\({\small (1)}~\)放物線 \(y=x^2-2x-8\) と放物線 \(y=-2x^2+x+10\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x-8&=&-2x^2+x+10
\\[3pt]~~~3x^2-3x-18&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-x-6)&=&0
\\[3pt]~~~3(x-3)(x+2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~3\end{eqnarray}\)
これより、
囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-2x^2+x+10\) が上側、放物線 \(y=x^2-2x-8\) が下側で、区間が \([\,-2~,~3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{3}\{(-2x^2+x+10)-(x^2-2x-8)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{3}(-2x^2+x+10-x^2+2x+8)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{3}(-3x^2+3x+18)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+18x\,\right]_{-2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+18x\,\right]_{-2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-3^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2+18 \cdot 3\right)-\left\{-(-2)^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot (-2)^2+18 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-27+\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}+54-8-6+36
\\[5pt]~~~&=&49+\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,98+27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{3}(-2x^2+x+10-x^2+2x+8)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{3}(-3x^2+3x+18)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+18x\,\right]_{-2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+18x\,\right]_{-2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-3^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2+18 \cdot 3\right)-\left\{-(-2)^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot (-2)^2+18 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-27+\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}+54-8-6+36
\\[5pt]~~~&=&49+\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,98+27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=2x+1\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&2x+1
\\[3pt]~~~x^2-2x-1&=&0\end{eqnarray}\)
解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-2) \pm \sqrt{\,(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm \sqrt{\,4+4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm 2\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1 \pm \sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=x^2\) は下に凸であるので、
よって、囲まれた図形の面積は、直線 \(y=2x+1\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,1-\sqrt{\,2\,}~,~1+\sqrt{\,2\,}\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}\{(2x+1)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}(-x^2+2x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+x\,\right]_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}(-x^2+2x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+x\,\right]_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+x\) に \(1+\sqrt{\,2\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1+\sqrt{\,2\,})^3+(1+\sqrt{\,2\,})^2+(1+\sqrt{\,2\,})
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1+3\sqrt{\,2\,}+6+2\sqrt{\,2\,})+(1+2\sqrt{\,2\,}+2)+(1+\sqrt{\,2\,})
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(7+5\sqrt{\,2\,})+3+2\sqrt{\,2\,}+1+\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}+4+3\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1+3\sqrt{\,2\,}+6+2\sqrt{\,2\,})+(1+2\sqrt{\,2\,}+2)+(1+\sqrt{\,2\,})
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(7+5\sqrt{\,2\,})+3+2\sqrt{\,2\,}+1+\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}+4+3\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+x\) に \(1-\sqrt{\,2\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1-\sqrt{\,2\,})^3+(1-\sqrt{\,2\,})^2+(1-\sqrt{\,2\,})
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1-3\sqrt{\,2\,}+6-2\sqrt{\,2\,})+(1-2\sqrt{\,2\,}+2)+(1-\sqrt{\,2\,})
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(7-5\sqrt{\,2\,})+3-2\sqrt{\,2\,}+1-\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}+4-3\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1-3\sqrt{\,2\,}+6-2\sqrt{\,2\,})+(1-2\sqrt{\,2\,}+2)+(1-\sqrt{\,2\,})
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(7-5\sqrt{\,2\,})+3-2\sqrt{\,2\,}+1-\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}+4-3\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\right)-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,8\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ08
問題アーカイブ082つの放物線 \(y=-3x^2+7x+2~,~\)\(y=2x^2-3x+2\) の2交点を通る直線を \(l\) とする。これら2つの放物線で囲まれた図形について、\(l\) より上方にある部分の面積 \(S_1\) と、\(l\) より下方にある部分の面積 \(S_2\) の比を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.238 問題 22
2つの放物線 \(y=-3x^2+7x+2\) と \(y=2x^2-3x+2\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-3x^2+7x+2&=&2x^2-3x+2
\\[3pt]~~~5x^2-10x&=&0
\\[3pt]~~~5x(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~2\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき \(y=2\) 、\(x=2\) のとき \(y=4\) より、交点の座標は \((0~,~2)\) 、\((2~,~4)\) となる
直線 \(l\) の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-2&=&\displaystyle \frac{\,4-2\,}{\,2-0\,}(x-0)
\\[5pt]~~~y&=&x+2\end{eqnarray}\)
\(l\) より上方にある部分の面積 \(S_1\)は、放物線 \(y=-3x^2+7x+2\) が上側、直線 \(y=x+2\) が下側で、区間が \([\,0~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle\int_{0}^{2}\{(-3x^2+7x+2)-(x+2)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(-3x^2+6x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+6 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-x^3+3x^2\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&(-2^3+3 \cdot 2^2)-0
\\[5pt]~~~&=&-8+12
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(-3x^2+6x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+6 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-x^3+3x^2\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&(-2^3+3 \cdot 2^2)-0
\\[5pt]~~~&=&-8+12
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(l\) より下方にある部分の面積 \(S_2\)は、直線 \(y=x+2\) が上側、放物線 \(y=2x^2-3x+2\) が下側で、区間が \([\,0~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle\int_{0}^{2}\{(x+2)-(2x^2-3x+2)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(-2x^2+4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+2x^2\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2 \cdot 2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(-2x^2+4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+2x^2\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2 \cdot 2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(S_1:S_2=4:\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}=12:8=3:2\) となる
問題アーカイブ09
問題アーカイブ092曲線 \(y=x^2~,~\)\(y=2x^2+3\) と2直線 \(x=-2~,~\)\(x=2\) で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.244 問16
区間 \([\,-2~,~2\,]\) では常に \(2x^2+3 \gt x^2\) となる
よって、放物線 \(y=2x^2+3\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側となる
囲まれた図形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\{(2x^2+3)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+3x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+3 \cdot 2\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+3 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+6+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+6
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+12
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16+36\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,52\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+3x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+3 \cdot 2\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+3 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+6+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+6
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+12
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16+36\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,52\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,52\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ10
問題アーカイブ10放物線 \(y=-x^2+3x+4\) と直線 \(y=-x+7\) で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.244 問17
放物線 \(y=-x^2+3x+4\) と直線 \(y=-x+7\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+3x+4&=&-x+7
\\[3pt]~~~x^2-4x+3&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~3\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=-x^2+3x+4\) は上に凸であるので、
よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2+3x+4\) が上側、直線 \(y=-x+7\) が下側で、区間が \([\,1~,~3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{1}^{3}\{(-x^2+3x+4)-(-x+7)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^2+3x+4+x-7)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-3x\,\right]_{1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x^2-3x\,\right]_{1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+2 \cdot 3^2-3 \cdot 3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+2 \cdot 1^2-3 \cdot 1\right)
\\[5pt]~~~&=&-9+18-9+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-2+3
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^2+3x+4+x-7)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-3x\,\right]_{1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x^2-3x\,\right]_{1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+2 \cdot 3^2-3 \cdot 3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+2 \cdot 1^2-3 \cdot 1\right)
\\[5pt]~~~&=&-9+18-9+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-2+3
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ11
問題アーカイブ11放物線 \(y=-2x^2-x+5\) と直線 \(y=x-7\) で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.247 Training 27
放物線 \(y=-2x^2-x+5\) と直線 \(y=x-7\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-2x^2-x+5&=&x-7
\\[3pt]~~~2x^2+2x-12&=&0
\\[3pt]~~~2(x^2+x-6)&=&0
\\[3pt]~~~2(x+3)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3~,~2\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=-2x^2-x+5\) は上に凸であるので、
よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-2x^2-x+5\) が上側、直線 \(y=x-7\) が下側で、区間が \([\,-3~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}\{(-2x^2-x+5)-(x-7)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-2x^2-2x+12)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3-x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2+12 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-(-3)^2+12 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-4+24-(18-9-36)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+20+27
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+47
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+141\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-2x^2-2x+12)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3-x^2+12x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2+12 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-(-3)^2+12 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-4+24-(18-9-36)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+20+27
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+47
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+141\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ12
問題アーカイブ12放物線 \(y=x^2\) と放物線 \(y=-2x^2+3x\) の2交点を通る直線を \(m\) とする。\(y=x^2\) と \(m\) で囲まれた図形の面積 \(S_1\) と、\(y=-2x^2+3x\) と \(m\) で囲まれた図形の面積 \(S_2\) を求めよ。また、\(S_1:S_2\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.249 Level Up 12
放物線 \(y=x^2\) と放物線 \(y=-2x^2+3x\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&-2x^2+3x
\\[3pt]~~~3x^2-3x&=&0
\\[3pt]~~~3x(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~1\end{eqnarray}\)
\(x=0\) のとき \(y=0\) 、\(x=1\) のとき \(y=1\) より、交点の座標は \((0~,~0)\) 、\((1~,~1)\) となる
直線 \(m\) の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-0&=&\displaystyle \frac{\,1-0\,}{\,1-0\,}(x-0)
\\[5pt]~~~y&=&x\end{eqnarray}\)
\(y=x^2\) と \(m\) で囲まれた図形の面積 \(S_1\)は、直線 \(y=x\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,0~,~1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-2\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\(y=-2x^2+3x\) と \(m\) で囲まれた図形の面積 \(S_2\)は、放物線 \(y=-2x^2+3x\) が上側、直線 \(y=x\) が下側で、区間が \([\,0~,~1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle\int_{0}^{1}\{(-2x^2+3x)-x\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(-2x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+x^2\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) 、\(S_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となり、\(S_1:S_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}:\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=1:2\) となる
問題アーカイブ13
問題アーカイブ132つの放物線 \(y=x^2~,~\)\(y=x^2+1\) と2直線 \(x=-1~,~\)\(x=0\) で囲まれた面積 \(S_1\) と、4直線 \(y=x~,~\)\(y=x+1~,~\)\(x=0~,~\)\(x=1\) で囲まれた面積 \(S_2\) が等しいことを説明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.238 問題 23
区間 \([\,-1~,~0\,]\) では常に \(x^2+1 \gt x^2\) となるので、放物線 \(y=x^2+1\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側となり、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}\{(x^2+1)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}1\,dx
\\[5pt]~~~&=&\Big[\,x\,\Big]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&0-(-1)
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
4直線 \(y=x~,~\)\(y=x+1~,~\)\(x=0~,~\)\(x=1\) で囲まれた図形は底辺 \(1\) 、高さ \(1\) の平行四辺形であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&1 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(S_1=S_2=1\) となり、\(S_1\) と \(S_2\) は等しい
問題アーカイブ14
問題アーカイブ14次の曲線または直線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
\(y=-x^2~,~\)\(y=x-2\)
\(y=-x^2~,~\)\(y=x-2\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.244 問題 19(1)
放物線 \(y=-x^2\) と直線 \(y=x-2\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2&=&x-2
\\[3pt]~~~x^2+x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+2)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)
また、放物線 \(y=-x^2\) は上に凸であるので、
よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2\) が上側、直線 \(y=x-2\) が下側で、区間が \([\,-2~,~1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}\{-x^2-(x-2)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-2}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+2 \cdot 1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+(2+2+4)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+8
\\[5pt]~~~&=&5-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-2}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+2 \cdot 1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2+4
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+(2+2+4)
\\[5pt]~~~&=&-3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+8
\\[5pt]~~~&=&5-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10-1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる
