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問題｜絶対値を含む定積分
微分と積分 51定積分 \(\displaystyle\int_{1}^{4}|\,x-3\,|\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{0}^{3}|\,x^2-4\,|\,dx\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
絶対値を含む定積分
Point：絶対値を含む定積分
① 絶対値を含む関数を場合分けして、グラフを描く。
\(y=|\,x-3\,|\) について、
\(x{\small ~≧~}3\) のとき、\(y=x-3\)
\(x \lt 3\) のとき、\(y=-x+3\)
② グラフより、区間ごとに2つの定積分を計算する。
（グラフ）
\(\displaystyle\int_{1}^{3}(-x+3)\,dx+\displaystyle\int_{3}^{4}(x-3)\,dx\)
絶対値を含む関数の定積分は、
① 絶対値を含む関数を場合分けして、グラフを描く。
\(y=|\,x-3\,|\) について、
\(x{\small ~≧~}3\) のとき、\(y=x-3\)
\(x \lt 3\) のとき、\(y=-x+3\)
② グラフより、区間ごとに2つの定積分を計算する。
（グラフ）
\(\displaystyle\int_{1}^{3}(-x+3)\,dx+\displaystyle\int_{3}^{4}(x-3)\,dx\)
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詳しい解説｜絶対値を含む定積分
微分と積分 51
定積分 \(\displaystyle\int_{1}^{4}|\,x-3\,|\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{0}^{3}|\,x^2-4\,|\,dx\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
関数 \(y=|\,x-3\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x-3{\small ~≧~}0\) すなわち \(x{\small ~≧~}3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x-3\,|\\[3pt]~~~&=&x-3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x-3 \lt 0\) すなわち \(x \lt 3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x-3\,|\\[3pt]~~~&=&-(x-3)\\[3pt]~~~&=&-x+3\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,1~,~3\,]\) では関数 \(y=-x+3\)
区間 \([\,3~,~4\,]\) では関数 \(y=x-3\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{1}^{4}|\,x-3\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{3}(-x+3)\,dx+\displaystyle\int_{3}^{4}(x-3)\,dx\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{1}^{3}(-x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_{1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3^2+3 \cdot 3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+3 \cdot 1\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}+9\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+3\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{3}^{4}(x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-3x\,\right]_{3}^{4}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 4^2-3 \cdot 4\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3^2-3 \cdot 3\right)
\\[5pt]~~~&=&(8-12)-\left(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}-9\right)
\\[5pt]~~~&=&-4-\left(-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-4+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{1}^{3}(-x+3)\,dx+\displaystyle\int_{3}^{4}(x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
【別解】
図よりこの面積は三角形の面積として求めることもできる。
底辺 \(2\) 、高さ \(2\) の三角形と底辺 \(1\) 、高さ \(1\) の三角形の面積の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2 \cdot 2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1 \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
関数 \(y=|\,x^2-4\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x^2-4{\small ~≧~}0\) のとき、
\((x+2)(x-2){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}-2~,~2{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-4\,|\\[3pt]~~~&=&x^2-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x^2-4 \lt 0\) のとき、
\((x+2)(x-2) \lt 0\) より、
\(-2 \lt x \lt 2\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-4\,|\\[3pt]~~~&=&-(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&-x^2+4\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,0~,~2\,]\) では関数 \(y=-x^2+4\)
区間 \([\,2~,~3\,]\) では関数 \(y=x^2-4\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{3}|\,x^2-4\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(-x^2+4)\,dx+\displaystyle\int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{2}(-x^2+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+4 \cdot 2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3+4 \cdot 0\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+24\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4x\,\right]_{2}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-4 \cdot 3\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-4 \cdot 2\right)
\\[5pt]~~~&=&(9-12)-\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-3-\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-3+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-9+16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{2}(-x^2+4)\,dx+\displaystyle\int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,23\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
