このページは、「絶対値を含む定積分」の練習問題アーカイブページとなります。
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絶対値を含む定積分 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の定積分を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{3}|\,x\,|\,dx\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\int_{0}^{2}|\,x^2-1\,|\,dx\)
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{3}|\,x\,|\,dx\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\int_{0}^{2}|\,x^2-1\,|\,dx\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.238 練習40
\({\small (1)}~\)
関数 \(y=|\,x\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x{\small ~≧~}0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x\,|\\[3pt]~~~&=&x\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x \lt 0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x\,|\\[3pt]~~~&=&-x\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-1~,~0\,]\) では関数 \(y=-x\)
区間 \([\,0~,~3\,]\) では関数 \(y=x\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{3}|\,x\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x)\,dx+\displaystyle\int_{0}^{3}x\,dx\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 0^2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{3}x\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 0^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x)\,dx+\displaystyle\int_{0}^{3}x\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
関数 \(y=|\,x^2-1\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x^2-1{\small ~≧~}0\) のとき、
\((x+1)(x-1){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-1\,|\\[3pt]~~~&=&x^2-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x^2-1 \lt 0\) のとき、
\((x+1)(x-1) \lt 0\) より、
\(-1 \lt x \lt 1\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-1\,|\\[3pt]~~~&=&-(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&-x^2+1\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,0~,~1\,]\) では関数 \(y=-x^2+1\)
区間 \([\,1~,~2\,]\) では関数 \(y=x^2-1\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{2}|\,x^2-1\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+1)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+1\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3+0\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+3\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+1)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の定積分を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\int_{-3}^{1}|\,x^2-4\,|\,dx\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{5}|\,x(x-3)\,|\,dx\)
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\int_{-3}^{1}|\,x^2-4\,|\,dx\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{5}|\,x(x-3)\,|\,dx\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.225 練習43
\({\small (1)}~\)
関数 \(y=|\,x^2-4\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x^2-4{\small ~≧~}0\) のとき、
\((x+2)(x-2){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}-2~,~2{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-4\,|\\[3pt]~~~&=&x^2-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x^2-4 \lt 0\) のとき、
\((x+2)(x-2) \lt 0\) より、
\(-2 \lt x \lt 2\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-4\,|\\[3pt]~~~&=&-(x^2-4)\\[3pt]~~~&=&-x^2+4\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-3~,~-2\,]\) では関数 \(y=x^2-4\)
区間 \([\,-2~,~1\,]\) では関数 \(y=-x^2+4\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{1}|\,x^2-4\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{-2}(x^2-4)\,dx+\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2+4)\,dx\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{-2}(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4x\,\right]_{-3}^{-2}
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-4 \cdot (-2)\right\}-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-4 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8\right)-(-9+12)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16-9\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4x\,\right]_{-3}^{-2}
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-4 \cdot (-2)\right\}-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-4 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8\right)-(-9+12)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16-9\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4x\,\right]_{-2}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+4 \cdot 1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+4 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+4\right)-\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4x\,\right]_{-2}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+4 \cdot 1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+4 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+4\right)-\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{-2}(x^2-4)\,dx+\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}+9
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7+27\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,34\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
関数 \(y=|\,x(x-3)\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x(x-3){\small ~≧~}0\) のとき、
\(x(x-3){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}0~,~3{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x(x-3)\,|\\[3pt]~~~&=&x(x-3)\\[3pt]~~~&=&x^2-3x\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x(x-3) \lt 0\) のとき、
\(x(x-3) \lt 0\) より、
\(0 \lt x \lt 3\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x(x-3)\,|\\[3pt]~~~&=&-x(x-3)\\[3pt]~~~&=&-x^2+3x\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-1~,~0\,]\) では関数 \(y=x^2-3x\)
区間 \([\,0~,~3\,]\) では関数 \(y=-x^2+3x\)
区間 \([\,3~,~5\,]\) では関数 \(y=x^2-3x\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{5}|\,x(x-3)\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^2-3x)\,dx+\displaystyle\int_{0}^{3}(-x^2+3x)\,dx+\displaystyle\int_{3}^{5}(x^2-3x)\,dx\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^2-3x)\,dx+\displaystyle\int_{0}^{3}(-x^2+3x)\,dx+\displaystyle\int_{3}^{5}(x^2-3x)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^2-3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&0-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+9\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{3}(-x^2+3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-9+\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-18+27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{3}^{5}(x^2-3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{3}^{5}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 5^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 5^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,75\,}{\,2\,}\right)-\left(9-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,250-225\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,18-27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25+27\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,52\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,26\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{3}^{5}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 5^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 5^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,75\,}{\,2\,}\right)-\left(9-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,250-225\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,18-27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25+27\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,52\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,26\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^2-3x)\,dx+\displaystyle\int_{0}^{3}(-x^2+3x)\,dx+\displaystyle\int_{3}^{5}(x^2-3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,26\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11+27+52\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,90\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&15\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,26\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11+27+52\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,90\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&15\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の定積分を求めよ。
\(\displaystyle\int_{0}^{2}|\,x^2+x-2\,|\,dx\)
\(\displaystyle\int_{0}^{2}|\,x^2+x-2\,|\,dx\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.228 問題 15(3)
関数 \(y=|\,x^2+x-2\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x^2+x-2{\small ~≧~}0\) のとき、
\((x+2)(x-1){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}-2~,~1{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2+x-2\,|\\[3pt]~~~&=&x^2+x-2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x^2+x-2 \lt 0\) のとき、
\((x+2)(x-1) \lt 0\) より、
\(-2 \lt x \lt 1\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2+x-2\,|\\[3pt]~~~&=&-(x^2+x-2)\\[3pt]~~~&=&-x^2-x+2\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,0~,~1\,]\) では関数 \(y=-x^2-x+2\)
区間 \([\,1~,~2\,]\) では関数 \(y=x^2+x-2\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{2}|\,x^2+x-2\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2-x+2)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2+x-2)\,dx\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2-x+2)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2+x-2)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+2 \cdot 1\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2-3+12\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2+x-2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-2x\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2-2 \cdot 2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2-2 \cdot 1\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2-4\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+7\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-2x\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2-2 \cdot 2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2-2 \cdot 1\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2-4\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+7\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2-x+2)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2+x-2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,18\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,18\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の定積分を求めよ。
\(\displaystyle\int_{-2}^{2}|\,x^2-1\,|\,dx\)
\(\displaystyle\int_{-2}^{2}|\,x^2-1\,|\,dx\)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.219 補充問題 10
関数 \(y=|\,x^2-1\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x^2-1{\small ~≧~}0\) のとき、
\((x+1)(x-1){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-1\,|\\[3pt]~~~&=&x^2-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x^2-1 \lt 0\) のとき、
\((x+1)(x-1) \lt 0\) より、
\(-1 \lt x \lt 1\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-1\,|\\[3pt]~~~&=&-(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&-x^2+1\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-2~,~-1\,]\) では関数 \(y=x^2-1\)
区間 \([\,-1~,~1\,]\) では関数 \(y=-x^2+1\)
区間 \([\,1~,~2\,]\) では関数 \(y=x^2-1\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-2}^{2}|\,x^2-1\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}(-x^2+1)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}(-x^2+1)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x\,\right]_{-2}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-(-1)\right\}-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-(-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x\,\right]_{-2}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-(-1)\right\}-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-(-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{1}(-x^2+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+1\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}(-x^2+1)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05定積分 \(\displaystyle\int_{0}^{3}|\,x^2-1\,|\,dx\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.236 問18
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.245 問18
関数 \(y=|\,x^2-1\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x^2-1{\small ~≧~}0\) のとき、
\((x+1)(x-1){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-1\,|\\[3pt]~~~&=&x^2-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x^2-1 \lt 0\) のとき、
\((x+1)(x-1) \lt 0\) より、
\(-1 \lt x \lt 1\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-1\,|\\[3pt]~~~&=&-(x^2-1)\\[3pt]~~~&=&-x^2+1\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,0~,~1\,]\) では関数 \(y=-x^2+1\)
区間 \([\,1~,~3\,]\) では関数 \(y=x^2-1\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{3}|\,x^2-1\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+1)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{3}(x^2-1)\,dx\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+1\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+3\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{1}^{3}(x^2-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x\,\right]_{1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-3\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-1\right)
\\[5pt]~~~&=&(9-3)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&6-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&6+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,18+2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+1)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{3}(x^2-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,22\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06定積分 \(\displaystyle\int_{-2}^{4}|\,x^2-2x-3\,|\,dx\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.238 問題 24
関数 \(y=|\,x^2-2x-3\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x^2-2x-3{\small ~≧~}0\) のとき、
\((x+1)(x-3){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}-1~,~3{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-2x-3\,|\\[3pt]~~~&=&x^2-2x-3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x^2-2x-3 \lt 0\) のとき、
\((x+1)(x-3) \lt 0\) より、
\(-1 \lt x \lt 3\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-2x-3\,|\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2x-3)\\[3pt]~~~&=&-x^2+2x+3\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-2~,~-1\,]\) では関数 \(y=x^2-2x-3\)
区間 \([\,-1~,~3\,]\) では関数 \(y=-x^2+2x+3\)
区間 \([\,3~,~4\,]\) では関数 \(y=x^2-2x-3\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-2}^{4}|\,x^2-2x-3\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^2-2x-3)\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx+\displaystyle\int_{3}^{4}(x^2-2x-3)\,dx\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^2-2x-3)\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx+\displaystyle\int_{3}^{4}(x^2-2x-3)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^2-2x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2-3x\,\right]_{-2}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-(-1)^2-3 \cdot (-1)\right\}-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-(-2)^2-3 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1+3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-4+6\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2-3x\,\right]_{-2}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-(-1)^2-3 \cdot (-1)\right\}-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3-(-2)^2-3 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1+3\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-4+6\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+3x\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+3^2+3 \cdot 3\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2+3 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&(-9+9+9)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3\right)
\\[5pt]~~~&=&9-\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&9+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27+5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+3x\,\right]_{-1}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+3^2+3 \cdot 3\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2+3 \cdot (-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&(-9+9+9)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-3\right)
\\[5pt]~~~&=&9-\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&9+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27+5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{3}^{4}(x^2-2x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2-3x\,\right]_{3}^{4}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 4^3-4^2-3 \cdot 4\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-3^2-3 \cdot 3\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}-16-12\right)-(9-9-9)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}-28\right)-(-9)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64-84\,}{\,3\,}+9
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}+9
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-20+27\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2-3x\,\right]_{3}^{4}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 4^3-4^2-3 \cdot 4\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3-3^2-3 \cdot 3\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}-16-12\right)-(9-9-9)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}-28\right)-(-9)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64-84\,}{\,3\,}+9
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,20\,}{\,3\,}+9
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-20+27\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-2}^{-1}(x^2-2x-3)\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx+\displaystyle\int_{3}^{4}(x^2-2x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,46\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,46\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07定積分 \(\displaystyle\int_{0}^{2}|\,x^2-x\,|\,dx\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.247 Training 28
関数 \(y=|\,x^2-x\,|\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(x^2-x{\small ~≧~}0\) のとき、
\(x(x-1){\small ~≧~}0\) より、
\(x{\small ~≦~}0~,~1{\small ~≦~}x\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-x\,|\\[3pt]~~~&=&x^2-x\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(x^2-x \lt 0\) のとき、
\(x(x-1) \lt 0\) より、
\(0 \lt x \lt 1\)
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&|\,x^2-x\,|\\[3pt]~~~&=&-(x^2-x)\\[3pt]~~~&=&-x^2+x\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,0~,~1\,]\) では関数 \(y=-x^2+x\)
区間 \([\,1~,~2\,]\) では関数 \(y=x^2-x\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{2}|\,x^2-x\,|\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+x)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-x)\,dx\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+x)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-x)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2+3\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_{1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+x)\,dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08\(f(x)=|\,x-t\,|\) とするとき、定積分 \(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx\) を求めよ。ただし、\(t \gt 0\) とする。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.245 練習問題B 15
\(t\) の値によって、区間 \([\,0~,~2\,]\) における \(y=|\,x-t\,|\) のグラフの形が変わるので、場合分けをする。
\({\small [\,1\,]}\) \(0 \lt t \lt 2\) のとき、
区間 \([\,0~,~t\,]\) では \(x-t \lt 0\) 、区間 \([\,t~,~2\,]\) では \(x-t{\small ~≧~}0\) となるので、
区間 \([\,0~,~t\,]\) では \(|\,x-t\,|=-(x-t)=-x+t\)
区間 \([\,t~,~2\,]\) では \(|\,x-t\,|=x-t\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx&=&\displaystyle\int_{0}^{t}(-x+t)\,dx+\displaystyle\int_{t}^{2}(x-t)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{t}(-x+t)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+tx\,\right]_{0}^{t}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2+t \cdot t\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2+t^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{t}^{2}(x-t)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-tx\,\right]_{t}^{2}
\\[5pt]~~~&=&(2-2t)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-t^2\right)
\\[5pt]~~~&=&2-2t-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-2t+2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2-2t+2
\\[5pt]~~~&=&t^2-2t+2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(t{\small ~≧~}2\) のとき、
区間 \([\,0~,~2\,]\) では \(x-t{\small ~≦~}0\) となるので、
\(|\,x-t\,|=-(x-t)=-x+t\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(-x+t)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+tx\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2+t \cdot 2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-2+2t
\\[5pt]~~~&=&2t-2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx=\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}t^2-2t+2 & (0 \lt t \lt 2) \\[5pt] 2t-2 & (t{\small ~≧~}2)\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ09
問題アーカイブ09関数 \(f(a)=\displaystyle\int_{0}^{3}|\,x-a\,|\,dx\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.249 Level Up 13
\({\small [\,1\,]}\) \(a{\small ~≦~}0\) のとき、
区間 \([\,0~,~3\,]\) では \(x-a{\small ~≧~}0\) となるので、
\(|\,x-a\,|=x-a\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~f(a)&=&\displaystyle\int_{0}^{3}(x-a)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-ax\,\right]_{0}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3^2-a \cdot 3\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}-3a\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) \(0 \lt a \lt 3\) のとき、
区間 \([\,0~,~a\,]\) では \(x-a \lt 0\) 、区間 \([\,a~,~3\,]\) では \(x-a{\small ~≧~}0\) となるので、
区間 \([\,0~,~a\,]\) では \(|\,x-a\,|=-(x-a)=-x+a\)
区間 \([\,a~,~3\,]\) では \(|\,x-a\,|=x-a\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~f(a)&=&\displaystyle\int_{0}^{a}(-x+a)\,dx+\displaystyle\int_{a}^{3}(x-a)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{a}(-x+a)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+ax\,\right]_{0}^{a}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a^2+a \cdot a\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a^2+a^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a^2\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{a}^{3}(x-a)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-ax\,\right]_{a}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}-3a\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a^2-a^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}-3a-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a^2-3a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~f(a)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a^2-3a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2-3a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) \(a{\small ~≧~}3\) のとき、
区間 \([\,0~,~3\,]\) では \(x-a{\small ~≦~}0\) となるので、
\(|\,x-a\,|=-(x-a)=-x+a\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~f(a)&=&\displaystyle\int_{0}^{3}(-x+a)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+ax\,\right]_{0}^{3}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3^2+a \cdot 3\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}+3a
\\[5pt]~~~&=&3a-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(f(a)=\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}-3a & (a{\small ~≦~}0) \\[5pt] a^2-3a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,} & (0 \lt a \lt 3) \\[5pt] 3a-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,} & (a{\small ~≧~}3)\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
