- 数学Ⅱ｜微分と積分「3次関数と接線で囲まれた面積」の基本例題解説ページです。
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問題｜3次関数と接線で囲まれた面積
微分と積分 52曲線 \(y=x^3-3x\) とこの曲線上の点 \((2~,~2)\) における接線で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
3次関数と接線で囲まれた面積
Point：3次関数と接線で囲まれた面積
曲線 \(f(x)=x^3-3x\) と接点 \((2~,~2)\)
① 接線の方程式を求める。
\(f^{\prime}(x)=3x^2-3\) より、\(f^{\prime}(2)=9\)
よって、接線 \(y=9x-16\)
② 曲線と接線の交点の \(x\) 座標を求める。
接点の \(x\) 座標 \(x=2\) は2重解となるので、
\((x-2)^2\) を因数にもつ。
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-3x&=&9x-16
\\[3pt]~~~(x-2)^2(x+4)&=&0\\[3pt]~~~x&=&2~,~-4\end{eqnarray}\)
③ 曲線と接線のグラフを描き、区間とどちらの関数が上側かを確認する。
重解 \(x=2\) で接して、\(x=-4\) で交わる
④ 囲まれた面積を定積分で計算する。
\(\displaystyle\int_{-4}^{2}\left\{(x^3-3x)-(9x-16)\right\}\,dx\)
3次関数とその接線で囲まれた面積は、
曲線 \(f(x)=x^3-3x\) と接点 \((2~,~2)\)
① 接線の方程式を求める。
\(f^{\prime}(x)=3x^2-3\) より、\(f^{\prime}(2)=9\)
よって、接線 \(y=9x-16\)
② 曲線と接線の交点の \(x\) 座標を求める。
接点の \(x\) 座標 \(x=2\) は2重解となるので、
\((x-2)^2\) を因数にもつ。
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-3x&=&9x-16
\\[3pt]~~~(x-2)^2(x+4)&=&0\\[3pt]~~~x&=&2~,~-4\end{eqnarray}\)
③ 曲線と接線のグラフを描き、区間とどちらの関数が上側かを確認する。
重解 \(x=2\) で接して、\(x=-4\) で交わる
④ 囲まれた面積を定積分で計算する。
\(\displaystyle\int_{-4}^{2}\left\{(x^3-3x)-(9x-16)\right\}\,dx\)
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詳しい解説｜3次関数と接線で囲まれた面積
微分と積分 52
曲線 \(y=x^3-3x\) とこの曲線上の点 \((2~,~2)\) における接線で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^3-3x\) とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2-3 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&3x^2-3\end{eqnarray}\)
\(x=2\) のとき接線の傾きとなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(2)&=&3 \cdot 2^2-3
\\[3pt]~~~&=&3 \cdot 4-3
\\[3pt]~~~&=&12-3
\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
よって、接線の傾き \(9\)、接点 \((2~,~2)\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y-2&=&9(x-2)
\\[3pt]~~~y&=&9x-18+2
\\[3pt]~~~y&=&9x-16\end{eqnarray}\)
次に、\(y=x^3-3x\) と \(y=9x-16\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-3x&=&9x-16
\\[3pt]~~~x^3-12x+16&=&0\end{eqnarray}\)
接点の \(x\) 座標 \(x=2\) は、接する条件より2重解となるので、\((x-2)^2\) を因数にもつ。
\(x^3-12x+16\) を \((x-2)^2=x^2-4x+4\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x+4\hspace{60pt}\\x^2-4x+4~)~\overline{x^3\phantom{-4x^2}-12x+16}\\\underline{-~)~x^3-4x^2+4x\phantom{+16}~~}\\4x^2-16x+16\\\underline{-~)~4x^2-16x+16}\\0\end{array}\)
左辺を因数分解して解を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-12x+16&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)^2(x+4)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&2~,~-4\end{eqnarray}\)
よって、\(y=x^3-3x\) と \(y=9x-16\) は \(x=2\) の点で接して、\(x=-4\) で交わるので、グラフは、
これより、囲まれた図形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-4}^{2}\left\{(x^3-3x)-(9x-16)\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-4}^{2}(x^3-3x-9x+16)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-4}^{2}(x^3-12x+16)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-12 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+16x\,\right]_{-4}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-6x^2+16x\,\right]_{-4}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4-6 \cdot 2^2+16 \cdot 2\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-4)^4-6 \cdot (-4)^2+16 \cdot (-4)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,16\,}{\,4\,}-24+32\right)-\left(\displaystyle \frac{\,256\,}{\,4\,}-96-64\right)
\\[5pt]~~~&=&(4-24+32)-(64-96-64)
\\[5pt]~~~&=&12-(-96)
\\[5pt]~~~&=&12+96
\\[5pt]~~~&=&108\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-4}^{2}(x^3-3x-9x+16)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-4}^{2}(x^3-12x+16)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-12 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+16x\,\right]_{-4}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-6x^2+16x\,\right]_{-4}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4-6 \cdot 2^2+16 \cdot 2\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-4)^4-6 \cdot (-4)^2+16 \cdot (-4)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,16\,}{\,4\,}-24+32\right)-\left(\displaystyle \frac{\,256\,}{\,4\,}-96-64\right)
\\[5pt]~~~&=&(4-24+32)-(64-96-64)
\\[5pt]~~~&=&12-(-96)
\\[5pt]~~~&=&12+96
\\[5pt]~~~&=&108\end{eqnarray}\)
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