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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01曲線 \(y=x^3+2x^2-3x\) と、その曲線上の点 \((-2~,~6)\) における接線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.239 練習41
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.230 章末問題B 16
\(f(x)=x^3+2x^2-3x\) とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+2 \cdot (x^2)^{\prime}-3 \cdot (x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2 \cdot 2x-3 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&3x^2+4x-3\end{eqnarray}\)
\(x=-2\) のとき接線の傾きとなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(-2)&=&3 \cdot (-2)^2+4 \cdot (-2)-3
\\[3pt]~~~&=&3 \cdot 4-8-3
\\[3pt]~~~&=&12-8-3
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
よって、接線の傾き \(1\)、接点 \((-2~,~6)\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y-6&=&1 \cdot (x-(-2))
\\[3pt]~~~y&=&x+2+6
\\[3pt]~~~y&=&x+8\end{eqnarray}\)
次に、\(y=x^3+2x^2-3x\) と \(y=x+8\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3+2x^2-3x&=&x+8
\\[3pt]~~~x^3+2x^2-4x-8&=&0\end{eqnarray}\)
接点の \(x\) 座標 \(x=-2\) は、接する条件より2重解となるので、\((x+2)^2\) を因数にもつ。
\(x^3+2x^2-4x-8\) を \((x+2)^2=x^2+4x+4\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x-2\hspace{53pt}\\x^2+4x+4~)~\overline{x^3+2x^2-4x-8}\\\underline{-~)~x^3+4x^2+4x\phantom{-8}~~}\\-2x^2-8x-8\\\underline{-~)~-2x^2-8x-8}\\0\end{array}\)
左辺を因数分解して解を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3+2x^2-4x-8&=&0
\\[3pt]~~~(x+2)^2(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~2\end{eqnarray}\)
よって、\(y=x^3+2x^2-3x\) と \(y=x+8\) は \(x=-2\) の点で接して、\(x=2\) で交わるので、グラフは、
これより、囲まれた図形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{(x+8)-(x^3+2x^2-3x)\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}(x+8-x^3-2x^2+3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}(-x^3-2x^2+4x+8)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+8x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+2x^2+8x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2 \cdot 2^2+8 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-2)^4-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)^2+8 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+8+16\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+8-16\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-4-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+24\right)-\left(-4+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-4-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+24+4-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&(-4+24+4+8)+\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&32-\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,96-32\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}(x+8-x^3-2x^2+3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}(-x^3-2x^2+4x+8)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+8x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+2x^2+8x\,\right]_{-2}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 2^4-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2 \cdot 2^2+8 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-2)^4-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)^2+8 \cdot (-2)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+8+16\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+8-16\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-4-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+24\right)-\left(-4+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-4-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+24+4-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}+8
\\[5pt]~~~&=&(-4+24+4+8)+\left(-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&32-\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,96-32\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02曲線 \(y=x^3+x^2-2x\) と、その曲線上の点 \((1~,~0)\) における接線で囲まれた部分の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.226 研究 練習1
\(f(x)=x^3+x^2-2x\) とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}+(x^2)^{\prime}-2 \cdot (x)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2x-2 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&3x^2+2x-2\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき接線の傾きとなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)&=&3 \cdot 1^2+2 \cdot 1-2
\\[3pt]~~~&=&3+2-2
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
よって、接線の傾き \(3\)、接点 \((1~,~0)\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y-0&=&3(x-1)
\\[3pt]~~~y&=&3x-3\end{eqnarray}\)
次に、\(y=x^3+x^2-2x\) と \(y=3x-3\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3+x^2-2x&=&3x-3
\\[3pt]~~~x^3+x^2-5x+3&=&0\end{eqnarray}\)
接点の \(x\) 座標 \(x=1\) は、接する条件より2重解となるので、\((x-1)^2\) を因数にもつ。
\(x^3+x^2-5x+3\) を \((x-1)^2=x^2-2x+1\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x+3\hspace{47pt}\\x^2-2x+1~)~\overline{x^3+x^2-5x+3}\\\underline{-~)~x^3-2x^2+x\phantom{+3}~~}\\3x^2-6x+3\\\underline{-~)~3x^2-6x+3}\\0\end{array}\)
左辺を因数分解して解を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3+x^2-5x+3&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2(x+3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~-3\end{eqnarray}\)
よって、\(y=x^3+x^2-2x\) と \(y=3x-3\) は \(x=1\) の点で接して、\(x=-3\) で交わるので、グラフは、
これより、囲まれた図形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-3}^{1}\left\{(x^3+x^2-2x)-(3x-3)\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{1}(x^3+x^2-2x-3x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{1}(x^3+x^2-5x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-5 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_{-3}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_{-3}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \cdot 1^2+3 \cdot 1\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-3)^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \cdot (-3)^2+3 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+3\right)-\left(\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}-9-\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2\,}-9\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+3-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}+9+\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2\,}+9
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}\right)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2\,}\right)+(3+9+9)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,80\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,40\,}{\,2\,}+21
\\[5pt]~~~&=&-20+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+20+21
\\[5pt]~~~&=&21+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,63+1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{1}(x^3+x^2-2x-3x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{1}(x^3+x^2-5x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-5 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_{-3}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x^2+3x\,\right]_{-3}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \cdot 1^2+3 \cdot 1\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-3)^4+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \cdot (-3)^2+3 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+3\right)-\left(\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}-9-\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2\,}-9\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+3-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}+9+\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2\,}+9
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}\right)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2\,}\right)+(3+9+9)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,80\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,40\,}{\,2\,}+21
\\[5pt]~~~&=&-20+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+20+21
\\[5pt]~~~&=&21+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,63+1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03曲線 \(y=x^3-x^2+3\) 上の点 \((1~,~3)\) における接線と曲線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.241 参考 問2
\(f(x)=x^3-x^2+3\) とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^3)^{\prime}-(x^2)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&3x^2-2x\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき接線の傾きとなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(1)&=&3 \cdot 1^2-2 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&3-2
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
よって、接線の傾き \(1\)、接点 \((1~,~3)\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y-3&=&1 \cdot (x-1)
\\[3pt]~~~y&=&x-1+3
\\[3pt]~~~y&=&x+2\end{eqnarray}\)
次に、\(y=x^3-x^2+3\) と \(y=x+2\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-x^2+3&=&x+2
\\[3pt]~~~x^3-x^2-x+1&=&0\end{eqnarray}\)
接点の \(x\) 座標 \(x=1\) は、接する条件より2重解となるので、\((x-1)^2\) を因数にもつ。
\(x^3-x^2-x+1\) を \((x-1)^2=x^2-2x+1\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x+1\hspace{45pt}\\x^2-2x+1~)~\overline{x^3-x^2-x+1}\\\underline{-~)~x^3-2x^2+x\phantom{+1}}\\x^2-2x+1\\\underline{-~)~x^2-2x+1}\\0\end{array}\)
左辺を因数分解して解を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-x^2-x+1&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2(x+1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~-1\end{eqnarray}\)
よって、\(y=x^3-x^2+3\) と \(y=x+2\) は \(x=1\) の点で接して、\(x=-1\) で交わるので、グラフは、
これより、囲まれた図形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{1}\left\{(x^3-x^2+3)-(x+2)\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3-x^2-x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+1\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-1)^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2+(-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)+\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)+(1+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2+6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3-x^2-x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot 1^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 1^2+1\right)-\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot (-1)^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-1)^2+(-1)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)+\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)+(1+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2+6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
