- 数学Ⅱ｜微分と積分「図形の分割や合成と囲まれた面積」の基本例題解説ページです。
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問題｜図形の分割や合成と囲まれた面積
微分と積分 53☆曲線 \(y=-x^2+4x\) と直線 \(y=x~,~\)直線 \(y=-x\) で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
図形の分割や合成と囲まれた面積
Point：図形の分割や合成と囲まれた面積
① それぞれの曲線や直線での交点の \(x\) 座標を求めて、グラフを描く。
② 関数の上側・下側を確認して、区間に分けて定積分の式を立てる。
区間 \([\,0~,~3\,]\) では、
\(\displaystyle\int_0^3\{x-(-x)\}\,dx\)
区間 \([\,3~,~5\,]\) では、
\(\displaystyle\int_3^5\{(-x^2+4x)-(-x)\}\,dx\)
図形の分割や合成から求める図形の面積は、
① それぞれの曲線や直線での交点の \(x\) 座標を求めて、グラフを描く。
② 関数の上側・下側を確認して、区間に分けて定積分の式を立てる。
区間 \([\,0~,~3\,]\) では、
\(\displaystyle\int_0^3\{x-(-x)\}\,dx\)
区間 \([\,3~,~5\,]\) では、
\(\displaystyle\int_3^5\{(-x^2+4x)-(-x)\}\,dx\)
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詳しい解説｜図形の分割や合成と囲まれた面積
微分と積分 53☆
曲線 \(y=-x^2+4x\) と直線 \(y=x~,~\)直線 \(y=-x\) で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
曲線 \(y=-x^2+4x\) と \(x\) 軸との交点は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+4x&=&0\\[3pt]~~~-x(x-4)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~4\end{eqnarray}\)
よって、\((0~,~0)~,~(4~,~0)\)
次に、曲線 \(y=-x^2+4x\) と直線 \(y=x\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+4x&=&x\\[3pt]~~~-x^2+3x&=&0\\[3pt]~~~-x(x-3)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~3\end{eqnarray}\)
次に、曲線 \(y=-x^2+4x\) と直線 \(y=-x\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+4x&=&-x\\[3pt]~~~-x^2+5x&=&0\\[3pt]~~~-x(x-5)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~5\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,0~,~3\,]\) では、直線 \(y=x\) が上側に、直線 \(y=-x\) が下側
区間 \([\,3~,~5\,]\) では、曲線 \(y=-x^2+4x\) が上側に、直線 \(y=-x\) が下側
よって、囲まれた図形と面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^3\{x-(-x)\}\,dx+\displaystyle\int_3^5\{(-x^2+4x)-(-x)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^3 2x\,dx+\displaystyle\int_3^5(-x^2+5x)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^3 2x\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^3\\[5pt]~~~&=&\left[\,x^2\,\right]_0^3\\[5pt]~~~&=&3^2-0^2\\[3pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_3^5(-x^2+5x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+5 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_3^5\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x^2\,\right]_3^5\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 5^3+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \cdot 5^2\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,} \cdot 3^2\right)\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}\right)-\left(-9+\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}+9-\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,80\,}{\,2\,}+9\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}+40+9\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}+49\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-125+147\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,22\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&9+\displaystyle \frac{\,22\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27+22\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
【別解】
曲線 \(y=-x^2+4x\) と直線 \(y=-x\) で囲まれた部分の面積 \(S_1\) から曲線 \(y=-x^2+4x\) と直線 \(y=x\) で囲まれた部分の面積 \(S_2\) を引けばよい
よって、\(S_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle\int_0^5\{(-x^2+4x)-(-x)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^5(-x^2+4x+x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^5(-x^2+5x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^5\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-250+375\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
また、\(S_2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle\int_0^3\{(-x^2+4x)-x\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^3(-x^2+3x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^3\\[5pt]~~~&=&-9+\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-18+27\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1-S_2&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125-27\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,98\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
