このページは、「図形の分割や合成と囲まれた面積」の練習問題アーカイブページとなります。
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図形の分割や合成と囲まれた面積 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01放物線 \(y=x(x-1)\) と直線 \(y=(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\) で囲まれた図形の面積は、\(x\) 軸で2等分されることを証明せよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.244 問題 22
[証明] 放物線 \(y=x(x-1)\) と直線 \(y=(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-1)&=&(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\\[3pt]~~~x^2-x&=&(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\\[3pt]~~~x^2-x-(\sqrt[\large 3]{2}-1)x&=&0\\[3pt]~~~x^2-\sqrt[\large 3]{2}\,x&=&0\\[3pt]~~~x(x-\sqrt[\large 3]{2})&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~\sqrt[\large 3]{2}\end{eqnarray}\)
次に、放物線 \(y=x(x-1)\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~1\end{eqnarray}\)
区間 \([\,0~,~\sqrt[\large 3]{2}\,]\) では、直線 \(y=(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\) が上側に、放物線 \(y=x(x-1)\) が下側であるので、囲まれた図形の面積 は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^{\sqrt[\large 3]{2}}\{(\sqrt[\large 3]{2}-1)x-x(x-1)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{\sqrt[\large 3]{2}}\{(\sqrt[\large 3]{2}-1)x-x^2+x\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{\sqrt[\large 3]{2}}(-x^2+\sqrt[\large 3]{2}\,x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\sqrt[\large 3]{2} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^{\sqrt[\large 3]{2}}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\sqrt[\large 3]{2})^3+\displaystyle \frac{\,\sqrt[\large 3]{2}\,}{\,2\,}(\sqrt[\large 3]{2})^2\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt[\large 3]{2} \cdot \sqrt[\large 3]{4}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt[\large 3]{8}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
次に、放物線 \(y=x(x-1)\) の \(x\) 軸より下側の部分の面積は、
区間 \([\,0~,~1\,]\) で放物線 \(y=x(x-1)\) は \(x\) 軸より下側であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle\int_0^1 x(x-1)\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^1(-x^2+x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^1\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
放物線 \(y=x(x-1)\) と直線 \(y=(\sqrt[\large 3]{2}-1)x\) で囲まれた図形の面積は、\(x\) 軸で2等分される [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02放物線 \(y=x^2-3x\) と次の2直線で囲まれた部分の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(y=0~,~\)\(y=4\)
\({\small (2)}~\)\(y=2x~,~\)\(y=-x\)
\({\small (1)}~\)\(y=0~,~\)\(y=4\)
\({\small (2)}~\)\(y=2x~,~\)\(y=-x\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.229 章末問題A 9
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.220 章末問題B 8
\({\small (1)}~\)放物線 \(y=x^2-3x\) と直線 \(y=4\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-3x&=&4\\[3pt]~~~x^2-3x-4&=&0\\[3pt]~~~(x-4)(x+1)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~4\end{eqnarray}\)
次に、放物線 \(y=x^2-3x\) と直線 \(y=0\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-3x&=&0\\[3pt]~~~x(x-3)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~3\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
放物線 \(y=x^2-3x\) と直線 \(y=4\) で囲まれた面積から、放物線 \(y=x^2-3x\) と直線 \(y=0\) で囲まれた面積を引くことで求められる。
よって、囲まれた部分の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^4\{4-(x^2-3x)\}\,dx-\displaystyle\int_0^3\{0-(x^2-3x)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^4(-x^2+3x+4)\,dx-\displaystyle\int_0^3(-x^2+3x)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^4(-x^2+3x+4)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{-1}^4\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}+24+16\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-4\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}+40-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+4\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,65\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+44\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-130-9+264\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^3(-x^2+3x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^3\\[5pt]~~~&=&-9+\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-18+27\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125-27\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,98\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2-3x\) と直線 \(y=2x\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-3x&=&2x\\[3pt]~~~x^2-5x&=&0\\[3pt]~~~x(x-5)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~5\end{eqnarray}\)
次に、放物線 \(y=x^2-3x\) と直線 \(y=-x\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-3x&=&-x\\[3pt]~~~x^2-2x&=&0\\[3pt]~~~x(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~2\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,0~,~2\,]\) では、直線 \(y=2x\) が上側に、直線 \(y=-x\) が下側
区間 \([\,2~,~5\,]\) では、直線 \(y=2x\) が上側に、放物線 \(y=x^2-3x\) が下側
よって、囲まれた部分の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_0^2\{2x-(-x)\}\,dx+\displaystyle\int_2^5\{2x-(x^2-3x)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2 3x\,dx+\displaystyle\int_2^5(-x^2+5x)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^2 3x\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^2\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 4\\[5pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_2^5(-x^2+5x)\,dx\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x^2\,\right]_2^5\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+10\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-10\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,117\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}-10\\[5pt]~~~&=&-39+\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}-10\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}-49\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125-98\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&6+\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12+27\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,39\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
