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問題｜放物線と2本の接線で囲まれた面積
微分と積分 54☆放物線 \(y=x^2\) とこの放物線上の点 \((1~,~1)\) 、\((-3~,~9)\) における2本の接線で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
放物線と2本の接線で囲まれた面積
Point：放物線と2本の接線で囲まれた面積
\(f(x)=x^2\) 上の点 \((1~,~1)\) 、\((-3~,~9)\)
① 2本の接線の方程式を求める。
\(f^{\prime}(x)=2x\) より、
\(y=2x-1~,~\)\(y=-6x-9\)
② 2本の接線の交点の \(x\) 座標を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~2x-1&=&-6x-9\\[3pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
③ グラフより、囲まれた図形の関数の上側と下側とその区間を確認して、囲まれた面積を定積分により求める。
放物線と2本の接線で囲まれた図形の面積は、
\(f(x)=x^2\) 上の点 \((1~,~1)\) 、\((-3~,~9)\)
① 2本の接線の方程式を求める。
\(f^{\prime}(x)=2x\) より、
\(y=2x-1~,~\)\(y=-6x-9\)
② 2本の接線の交点の \(x\) 座標を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~2x-1&=&-6x-9\\[3pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
③ グラフより、囲まれた図形の関数の上側と下側とその区間を確認して、囲まれた面積を定積分により求める。
\(\displaystyle\int_{-3}^{-1}\{x^2-(-6x-9)\}\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}\{x^2-(2x-1)\}\,dx\)
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詳しい解説｜放物線と2本の接線で囲まれた面積
微分と積分 54☆
放物線 \(y=x^2\) とこの放物線上の点 \((1~,~1)\) 、\((-3~,~9)\) における2本の接線で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^2\) とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2x\end{eqnarray}\)
点 \((1~,~1)\) での接線の傾きは、
\(f^{\prime}(1)=2 \cdot 1=2\)
よって、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&2(x-1)\\[3pt]~~~y&=&2x-2+1\\[3pt]~~~y&=&2x-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
点 \((-3~,~9)\) での接線の傾きは、
\(f^{\prime}(-3)=2 \cdot (-3)=-6\)
よって、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-9&=&-6\{x-(-3)\}\\[3pt]~~~y&=&-6(x+3)+9\\[3pt]~~~y&=&-6x-18+9\\[3pt]~~~y&=&-6x-9~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
次に、2つの接線の交点の \(x\) 座標は、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2x-1&=&-6x-9\\[3pt]~~~8x&=&-8\\[3pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-3~,~-1\,]\) では、放物線 \(y=x^2\) が上側で直線 \(y=-6x-9\) が下側
区間 \([\,-1~,~1\,]\) では、放物線 \(y=x^2\) が上側で直線 \(y=2x-1\) が下側
よって、囲まれた図形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{-1}\{x^2-(-6x-9)\}\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}\{x^2-(2x-1)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{-1}(x^2+6x+9)\,dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2-2x+1)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{-1}(x^2+6x+9)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+6 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+9x\,\right]_{-3}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+3x^2+9x\,\right]_{-3}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)^2+9 \cdot (-1)\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3+3 \cdot (-3)^2+9 \cdot (-3)\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+3-9\right)-\left(-9+27-27\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-6\right)-(-9)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-6+9
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+9\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+6 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+9x\,\right]_{-3}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+3x^2+9x\,\right]_{-3}^{-1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+3 \cdot (-1)^2+9 \cdot (-1)\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3+3 \cdot (-3)^2+9 \cdot (-3)\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+3-9\right)-\left(-9+27-27\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-6\right)-(-9)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-6+9
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+9\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2-2x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-1^2+1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-(-1)^2+(-1)\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1+1\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2+x\,\right]_{-1}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 1^3-1^2+1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3-(-1)^2+(-1)\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1+1\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-1-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\) となる
