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放物線と2本の接線で囲まれた面積 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01放物線 \(y=x^2\) 上に2点 \({\rm A}(-1~,~1)\) 、\({\rm B}(2~,~4)\) がある。
\({\small (1)}~\) 点 \({\rm A}\) における放物線の接線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\) 点 \({\rm B}\) における放物線の接線の方程式を求めよ。
\({\small (3)}~\) \({\small (1)}\) 、\({\small (2)}\) で求めた2つの接線と、放物線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~\) 点 \({\rm A}\) における放物線の接線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\) 点 \({\rm B}\) における放物線の接線の方程式を求めよ。
\({\small (3)}~\) \({\small (1)}\) 、\({\small (2)}\) で求めた2つの接線と、放物線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.244 問題 20
\(f(x)=x^2\) とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2x\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)点 \({\rm A}(-1~,~1)\) での接線の傾きは、
\(f^{\prime}(-1)=2 \cdot (-1)=-2\)
よって、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-1&=&-2\{x-(-1)\}\\[3pt]~~~y&=&-2(x+1)+1\\[3pt]~~~y&=&-2x-2+1\\[3pt]~~~y&=&-2x-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)点 \({\rm B}(2~,~4)\) での接線の傾きは、
\(f^{\prime}(2)=2 \cdot 2=4\)
よって、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-4&=&4(x-2)\\[3pt]~~~y&=&4x-8+4\\[3pt]~~~y&=&4x-4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)
次に、2つの接線の交点の \(x\) 座標は、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-2x-1&=&4x-4\\[3pt]~~~-6x&=&-3\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \(\left[\,-1~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right]\) では、放物線 \(y=x^2\) が上側で直線 \(y=-2x-1\) が下側
区間 \(\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~2\,\right]\) では、放物線 \(y=x^2\) が上側で直線 \(y=4x-4\) が下側
よって、囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\{x^2-(-2x-1)\}\,dx+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2}\{x^2-(4x-4)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{\frac{1}{2}}(x^2+2x+1)\,dx+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2}(x^2-4x+4)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{\frac{1}{2}}(x^2+2x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{-1}^{\frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+x\,\right]_{-1}^{\frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2+(-1)\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,24\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,24\,}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,24\,}+\displaystyle \frac{\,12\,}{\,24\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+x\,\right]_{-1}^{\frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+x\,\right]_{-1}^{\frac{1}{2}}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+(-1)^2+(-1)\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1-1\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,24\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,24\,}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,24\,}+\displaystyle \frac{\,12\,}{\,24\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2}(x^2-4x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{\frac{1}{2}}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x^2+4x\,\right]_{\frac{1}{2}}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2 \cdot 2^2+4 \cdot 2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3-2 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8+8\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,24\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,24\,}-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,24\,}+\displaystyle \frac{\,48\,}{\,24\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,37\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,24\,}-\displaystyle \frac{\,37\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{\frac{1}{2}}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x^2+4x\,\right]_{\frac{1}{2}}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2 \cdot 2^2+4 \cdot 2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3-2 \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8+8\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,24\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,24\,}-\displaystyle \frac{\,12\,}{\,24\,}+\displaystyle \frac{\,48\,}{\,24\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,37\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,24\,}-\displaystyle \frac{\,37\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,24\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,8\,}+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,18\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(S=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02放物線 \(y=x^2-2x+4\) に原点 \({\rm O}\) から2本の接線を引くとき、放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.230 章末問題B 15
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.221 章末問題B 14
\(f(x)=x^2-2x+4\) とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(x^2-2x+4)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&2x-2\end{eqnarray}\)
放物線上の点 \((t~,~t^2-2t+4)\) における接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(t^2-2t+4)&=&(2t-2)(x-t)\\[3pt]~~~y&=&(2t-2)x-2t^2+2t+t^2-2t+4\\[3pt]~~~y&=&(2t-2)x-t^2+4\end{eqnarray}\)
この接線が原点 \((0~,~0)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&(2t-2) \cdot 0-t^2+4\\[3pt]~~~t^2&=&4\\[3pt]~~~t&=&\pm 2\end{eqnarray}\)
\(t=2\) のとき、接点の \(x\) 座標が \(x=2\) で接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(2 \cdot 2-2)x-2^2+4\\[3pt]~~~y&=&2x~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(t=-2\) のとき、接点の \(x\) 座標が \(x=-2\) で接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\{2 \cdot (-2)-2\}x-(-2)^2+4\\[3pt]~~~y&=&-6x~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-2~,~0\,]\) では、放物線 \(y=x^2-2x+4\) が上側で直線 \(y=-6x\) が下側
区間 \([\,0~,~2\,]\) では、放物線 \(y=x^2-2x+4\) が上側で直線 \(y=2x\) が下側
よって、囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{0}\{(x^2-2x+4)-(-6x)\}\,dx+\displaystyle\int_{0}^{2}\{(x^2-2x+4)-2x\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{0}(x^2+4x+4)\,dx+\displaystyle\int_{0}^{2}(x^2-4x+4)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-2}^{0}(x^2+4x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{-2}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x^2+4x\,\right]_{-2}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3+2 \cdot 0^2+4 \cdot 0\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)^2+4 \cdot (-2)\right)
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{-2}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x^2+4x\,\right]_{-2}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3+2 \cdot 0^2+4 \cdot 0\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)^2+4 \cdot (-2)\right)
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{2}(x^2-4x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x^2+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2 \cdot 2^2+4 \cdot 2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3-2 \cdot 0^2+4 \cdot 0\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8+8\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x^2+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2 \cdot 2^2+4 \cdot 2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3-2 \cdot 0^2+4 \cdot 0\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8+8\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(S=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03放物線 \(y=2x^2-x+2\) について、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\) 原点 \({\rm O}\) からこの放物線に引いた2本の接線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\) \({\small (1)}\) で求めた接線と放物線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~\) 原点 \({\rm O}\) からこの放物線に引いた2本の接線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\) \({\small (1)}\) で求めた接線と放物線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.240 参考 問1
\(f(x)=2x^2-x+2\) とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(2x^2-x+2)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&4x-1\end{eqnarray}\)
放物線上の点 \((t~,~2t^2-t+2)\) における接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(2t^2-t+2)&=&(4t-1)(x-t)\\[3pt]~~~y&=&(4t-1)x-4t^2+t+2t^2-t+2\\[3pt]~~~y&=&(4t-1)x-2t^2+2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
この接線が原点 \((0~,~0)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&(4t-1) \cdot 0-2t^2+2\\[3pt]~~~2t^2&=&2\\[3pt]~~~t^2&=&1\\[3pt]~~~t&=&\pm 1\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)\(t=1\) のとき、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(4 \cdot 1-1)x-2 \cdot 1^2+2\\[3pt]~~~y&=&3x\end{eqnarray}\)
\(t=-1\) のとき、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\{4 \cdot (-1)-1\}x-2 \cdot (-1)^2+2\\[3pt]~~~y&=&-5x\end{eqnarray}\)
したがって、2本の接線の方程式は \(y=3x\) 、\(y=-5x\) となる
\({\small (2)}~\)2つの接線の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~3x&=&-5x\\[3pt]~~~8x&=&0\\[3pt]~~~x&=&0\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-1~,~0\,]\) では、放物線 \(y=2x^2-x+2\) が上側で直線 \(y=-5x\) が下側
区間 \([\,0~,~1\,]\) では、放物線 \(y=2x^2-x+2\) が上側で直線 \(y=3x\) が下側
よって、囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}\{(2x^2-x+2)-(-5x)\}\,dx+\displaystyle\int_{0}^{1}\{(2x^2-x+2)-3x\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}(2x^2+4x+2)\,dx+\displaystyle\int_{0}^{1}(2x^2-4x+2)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{0}(2x^2+4x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+2x^2+2x\,\right]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 0^3+2 \cdot 0^2+2 \cdot 0\right)-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+2 \cdot (-1)^2+2 \cdot (-1)\right)
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2-2\right)
\\[5pt]~~~&=&-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3+2x^2+2x\,\right]_{-1}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 0^3+2 \cdot 0^2+2 \cdot 0\right)-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot (-1)^3+2 \cdot (-1)^2+2 \cdot (-1)\right)
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+2-2\right)
\\[5pt]~~~&=&-\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{1}(2x^2-4x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3-2x^2+2x\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 1^3-2 \cdot 1^2+2 \cdot 1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 0^3-2 \cdot 0^2+2 \cdot 0\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-2+2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2x\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x^3-2x^2+2x\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 1^3-2 \cdot 1^2+2 \cdot 1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot 0^3-2 \cdot 0^2+2 \cdot 0\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}-2+2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(S=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04放物線 \(y=-x^2+2x+3\) について、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\) 点 \((0~,~7)\) からこの放物線に引いた2本の接線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\) \({\small (1)}\) で求めた2本の接線と放物線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
\({\small (1)}~\) 点 \((0~,~7)\) からこの放物線に引いた2本の接線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}~\) \({\small (1)}\) で求めた2本の接線と放物線で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.249 Level Up 11
\(f(x)=-x^2+2x+3\) とおき、微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(x)&=&(-x^2+2x+3)^{\prime}\\[3pt]~~~&=&-2x+2\end{eqnarray}\)
放物線上の点 \((t~,~-t^2+2t+3)\) における接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(-t^2+2t+3)&=&(-2t+2)(x-t)\\[3pt]~~~y&=&(-2t+2)x+2t^2-2t-t^2+2t+3\\[3pt]~~~y&=&(-2t+2)x+t^2+3\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
この接線が点 \((0~,~7)\) を通るので、
\(\begin{eqnarray}~~~7&=&(-2t+2) \cdot 0+t^2+3\\[3pt]~~~t^2&=&4\\[3pt]~~~t&=&\pm 2\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)\(t=2\) のとき、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(-2 \cdot 2+2)x+2^2+3\\[3pt]~~~y&=&-2x+7\end{eqnarray}\)
\(t=-2\) のとき、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\{-2 \cdot (-2)+2\}x+(-2)^2+3\\[3pt]~~~y&=&6x+7\end{eqnarray}\)
したがって、2本の接線の方程式は \(y=-2x+7\) 、\(y=6x+7\) となる
\({\small (2)}~\)2つの接線の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-2x+7&=&6x+7\\[3pt]~~~-8x&=&0\\[3pt]~~~x&=&0\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-2~,~0\,]\) では、直線 \(y=6x+7\) が上側で放物線 \(y=-x^2+2x+3\) が下側
区間 \([\,0~,~2\,]\) では、直線 \(y=-2x+7\) が上側で放物線 \(y=-x^2+2x+3\) が下側
よって、囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{0}\{(6x+7)-(-x^2+2x+3)\}\,dx+\displaystyle\int_{0}^{2}\{(-2x+7)-(-x^2+2x+3)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{0}(x^2+4x+4)\,dx+\displaystyle\int_{0}^{2}(x^2-4x+4)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-2}^{0}(x^2+4x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{-2}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x^2+4x\,\right]_{-2}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3+2 \cdot 0^2+4 \cdot 0\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)^2+4 \cdot (-2)\right)
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{-2}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2x^2+4x\,\right]_{-2}^{0}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3+2 \cdot 0^2+4 \cdot 0\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-2)^3+2 \cdot (-2)^2+4 \cdot (-2)\right)
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+8-8\right)
\\[5pt]~~~&=&-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{2}(x^2-4x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x^2+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2 \cdot 2^2+4 \cdot 2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3-2 \cdot 0^2+4 \cdot 0\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8+8\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-2x^2+4x\,\right]_{0}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2 \cdot 2^2+4 \cdot 2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 0^3-2 \cdot 0^2+4 \cdot 0\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-8+8\right)-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、囲まれた図形の面積は \(S=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\) となる
