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問題｜2つの放物線と共通接線で囲まれた面積
微分と積分 55☆\(y=x^2\) と \(y=x^2-4x+8\) の両方に接する接線と2つの放物線で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
2つの放物線と共通接線で囲まれた面積
Point：2つの放物線と共通接線で囲まれた面積
① 2つの放物線の接線をそれぞれ求め、一致する条件より共通接線を求める。
\(y=x^2\) 上の点 \((a~,~a^2)\) での接線は、
\(y=2ax-a^2\)
\(y=x^2-4x+8\) 上の
点 \((b~,~b^2-4b+8)\) での接線は、
\(y=(2b-4)x-b^2+8\)
一致することにより、係数を比較して、
\(a=1~,~b=3~,~y=2x-1\)
② 2つの放物線の交点の \(x\) 座標を求める。
\(x^2=x^2-4x+8\) より \(x=2\)
③ グラフを描き、囲まれた図形の面積を関数の上側か下側かと区間を調べ、定積分を用いて求める。
2つの放物線の共通接線と囲まれた部分の面積は、
① 2つの放物線の接線をそれぞれ求め、一致する条件より共通接線を求める。
\(y=x^2\) 上の点 \((a~,~a^2)\) での接線は、
\(y=2ax-a^2\)
\(y=x^2-4x+8\) 上の
点 \((b~,~b^2-4b+8)\) での接線は、
\(y=(2b-4)x-b^2+8\)
一致することにより、係数を比較して、
\(a=1~,~b=3~,~y=2x-1\)
② 2つの放物線の交点の \(x\) 座標を求める。
\(x^2=x^2-4x+8\) より \(x=2\)
③ グラフを描き、囲まれた図形の面積を関数の上側か下側かと区間を調べ、定積分を用いて求める。
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詳しい解説｜2つの放物線と共通接線で囲まれた面積
微分と積分 55☆
\(y=x^2\) と \(y=x^2-4x+8\) の両方に接する接線と2つの放物線で囲まれた図形の面積の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(f(x)=x^2\) とし、この放物線上の点 \((a~,~a^2)\) における接線の方程式は、
\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=a\) のときが接線の傾きより、
\(f^{\prime}(a)=2a\)
よって、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-a^2&=&2a(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&2ax-2a^2+a^2
\\[3pt]~~~y&=&2ax-a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(g(x)=x^2-4x+8\) とし、この放物線上の点 \((b~,~b^2-4b+8)\) における接線の方程式は、
\(g(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~g^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}-(4x)^{\prime}+(8)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2x-4+0
\\[3pt]~~~&=&2x-4\end{eqnarray}\)
\(x=b\) のときが接線の傾きより、
\(g^{\prime}(b)=2b-4\)
よって、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(b^2-4b+8)&=&(2b-4)(x-b)
\\[3pt]~~~y&=&(2b-4)x-2b^2+4b+b^2-4b+8
\\[3pt]~~~y&=&(2b-4)x-b^2+8~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~y&=&(2b-4)x-2b^2+4b+b^2-4b+8
\\[3pt]~~~y&=&(2b-4)x-b^2+8~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) が一致するとき、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~~\begin{array}{l}
2a=2b-4~~~\hspace{14pt}\cdots {\rm [\,A\,]} \\ -a^2=-b^2+8~~~\cdots {\rm [\,B\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) より、
\(a=b-2\)
\({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2-8
\\[3pt]~~~(b-2)^2&=&b^2-8
\\[3pt]~~~b^2-4b+4&=&b^2-8
\\[3pt]~~~-4b&=&-12
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)
よって、
\(a=3-2=1\)
\(\small [\,1\,]\) に \(a=1\) を代入すると、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 1 \cdot x-1^2
\\[3pt]~~~&=&2x-1\end{eqnarray}\)
さらに、\(y=x^2\) と \(y=x^2-4x+8\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&x^2-4x+8
\\[3pt]~~~4x&=&8
\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,1~,~2\,]\) では、放物線 \(y=x^2\) が上側、直線 \(y=2x-1\) が下側
区間 \([\,2~,~3\,]\) では、放物線 \(y=x^2-4x+8\) が上側、直線 \(y=2x-1\) が下側
よって、囲まれた図形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_1^2\{x^2-(2x-1)\}\,dx+\displaystyle\int_2^3\{(x^2-4x+8)-(2x-1)\}\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_1^2\{x^2-(2x-1)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(x^2-2x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(x-1)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x-1)^3\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(2-1)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1-1)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(x^2-2x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^2(x-1)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x-1)^3\,\right]_1^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(2-1)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1-1)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_2^3\{(x^2-4x+8)-(2x-1)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_2^3(x^2-6x+9)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_2^3(x-3)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x-3)^3\,\right]_2^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(3-3)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(2-3)^3
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_2^3(x^2-6x+9)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_2^3(x-3)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x-3)^3\,\right]_2^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(3-3)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(2-3)^3
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
