このページは、「2つの放物線と共通接線で囲まれた面積」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ012つの放物線 \(y=x^2+4x\) を \(C_1\) 、\(y=x^2-4x+8\) を \(C_2\) とする。このとき、\(C_1\) と \(C_2\) のどちらにも接する接線 \(l\) の方程式を求めよ。また、\(C_1\) と \(C_2\) および \(l\) で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.245 練習問題B 13
\(f(x)=x^2+4x\) とし、この放物線上の点 \((a~,~a^2+4a)\) における接線の方程式は、
\(f(x)\) を微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x+4\)
\(x=a\) のときが接線の傾きより、
\(f^{\prime}(a)=2a+4\)
よって、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^2+4a)&=&(2a+4)(x-a)
\\[3pt]~~~y&=&(2a+4)x-2a^2-4a+a^2+4a
\\[3pt]~~~y&=&(2a+4)x-a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~y&=&(2a+4)x-2a^2-4a+a^2+4a
\\[3pt]~~~y&=&(2a+4)x-a^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(g(x)=x^2-4x+8\) とし、この放物線上の点 \((b~,~b^2-4b+8)\) における接線の方程式は、
\(g(x)\) を微分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~g^{\prime}(x)&=&(x^2)^{\prime}-(4x)^{\prime}+(8)^{\prime}
\\[3pt]~~~&=&2x-4+0
\\[3pt]~~~&=&2x-4\end{eqnarray}\)
\(x=b\) のときが接線の傾きより、
\(g^{\prime}(b)=2b-4\)
よって、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(b^2-4b+8)&=&(2b-4)(x-b)
\\[3pt]~~~y&=&(2b-4)x-2b^2+4b+b^2-4b+8
\\[3pt]~~~y&=&(2b-4)x-b^2+8~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~y&=&(2b-4)x-2b^2+4b+b^2-4b+8
\\[3pt]~~~y&=&(2b-4)x-b^2+8~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) が一致するとき、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~~\begin{array}{l}
2a+4=2b-4~~~\hspace{14pt}\cdots {\rm [\,A\,]} \\ -a^2=-b^2+8~~~\cdots {\rm [\,B\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\rm [\,A\,]}\) より、
\(a=b-4\)
\({\rm [\,B\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2-8
\\[3pt]~~~(b-4)^2&=&b^2-8
\\[3pt]~~~b^2-8b+16&=&b^2-8
\\[3pt]~~~-8b&=&-24
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)
よって、
\(a=3-4=-1\)
\({\small [\,1\,]}\) に \(a=-1\) を代入すると、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\{2 \cdot (-1)+4\}x-(-1)^2
\\[3pt]~~~&=&2x-1\end{eqnarray}\)
したがって、接線 \(l\) の方程式は \(y=2x-1\) となる
さらに、\(y=x^2+4x\) と \(y=x^2-4x+8\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+4x&=&x^2-4x+8
\\[3pt]~~~8x&=&8
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
区間 \([\,-1~,~1\,]\) では、放物線 \(y=x^2+4x\) が上側、直線 \(y=2x-1\) が下側
区間 \([\,1~,~3\,]\) では、放物線 \(y=x^2-4x+8\) が上側、直線 \(y=2x-1\) が下側
よって、囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^1\{(x^2+4x)-(2x-1)\}\,dx+\displaystyle\int_1^3\{(x^2-4x+8)-(2x-1)\}\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^1\{(x^2+4x)-(2x-1)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^1(x^2+2x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^1(x+1)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x+1)^3\,\right]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1+1)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(-1+1)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^1(x^2+2x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^1(x+1)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x+1)^3\,\right]_{-1}^1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1+1)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(-1+1)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-0
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_1^3\{(x^2-4x+8)-(2x-1)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^3(x^2-6x+9)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^3(x-3)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x-3)^3\,\right]_1^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(3-3)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1-3)^3
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^3(x^2-6x+9)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_1^3(x-3)^2\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x-3)^3\,\right]_1^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(3-3)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(1-3)^3
\\[5pt]~~~&=&0-\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
