- 数学Ⅱ｜微分と積分「連立不等式の表す領域の面積」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜連立不等式の表す領域の面積
微分と積分 56☆次の不等式の表す領域の面積を求めよ。
\(\begin{eqnarray}\left\{\,\begin{array}{l}\,y{\small ~≧~}x^2\\\,y{\small ~≧~}x\\\,y{\small ~≦~}-x+6\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\left\{\,\begin{array}{l}\,y{\small ~≧~}x^2\\\,y{\small ~≧~}x\\\,y{\small ~≦~}-x+6\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
連立不等式の表す領域の面積
Point：連立不等式の表す領域の面積
\(\begin{eqnarray}\left\{\,\begin{array}{l}\,y{\small ~≧~}x^2\\\,y{\small ~≧~}x\\\,y{\small ~≦~}-x+6\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① 不等式の領域を図示し、関数の交点の \(x\) 座標を求める。
② 領域の面積は、関数の上側か下側かと区間を調べて定積分を用いて求める。
不等式の表す領域の面積は、
\(\begin{eqnarray}\left\{\,\begin{array}{l}\,y{\small ~≧~}x^2\\\,y{\small ~≧~}x\\\,y{\small ~≦~}-x+6\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
① 不等式の領域を図示し、関数の交点の \(x\) 座標を求める。
② 領域の面積は、関数の上側か下側かと区間を調べて定積分を用いて求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{2}\{(-x+6)-x^2\}\,dx-\displaystyle\int_{0}^{1}\{(-x+6)-x\}\,dx\end{eqnarray}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜連立不等式の表す領域の面積
微分と積分 56☆
\(\begin{eqnarray}\left\{\,\begin{array}{l}\,y{\small ~≧~}x^2\\\,y{\small ~≧~}x\\\,y{\small ~≦~}-x+6\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
次の不等式の表す領域の面積を求めよ。
\(\begin{eqnarray}\left\{\,\begin{array}{l}\,y{\small ~≧~}x^2\\\,y{\small ~≧~}x\\\,y{\small ~≦~}-x+6\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(y{\small ~≧~}x^2\) は放物線 \(y=x^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) の上側
\(y{\small ~≧~}x\) は直線 \(y=x~~~\cdots {\small [\,2\,]}\) の上側
\(y{\small ~≦~}-x+6\) は直線 \(y=-x+6~~~\cdots {\small [\,3\,]}\) の下側
また、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&x
\\[3pt]~~~x^2-x&=&0
\\[3pt]~~~x(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~1\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&-x+6
\\[3pt]~~~x^2+x-6&=&0
\\[3pt]~~~(x+3)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3~,~2\end{eqnarray}\)
よって、この不等式の表す領域は、
ただし、境界線を含む
この領域の面積は、
区間 \([-3~,~2]\) の直線 \(y=-x+6\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側の部分から、区間 \([0~,~1]\) の直線 \(y=-x+6\) が上側、直線 \(y=x\) が下側の部分を引けば良いので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{2}\{(-x+6)-x^2\}\,dx-\displaystyle\int_{0}^{1}\{(-x+6)-x\}\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-x^2-x+6)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+6x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2+6 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-3)^2+6 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-2+12\right)-\left(9-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}-18\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+10\right)-\left(-9-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+10+9+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+19+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+114+27\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+6x\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^2+6 \cdot 2\right)-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot (-3)^3-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-3)^2+6 \cdot (-3)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}-2+12\right)-\left(9-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}-18\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+10\right)-\left(-9-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+10+9+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+19+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-16+114+27\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{0}^{1}\{(-x+6)-x\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(-2x+6)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-x^2+6x\,\right]_{0}^{1}
\\[5pt]~~~&=&(-1+6)-0
\\[5pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,6\,}-5
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125-30\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,95\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、領域の面積は \(\displaystyle \frac{\,95\,}{\,6\,}\) となる
