このページは、「連立不等式の表す領域の面積」の練習問題アーカイブページとなります。
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連立不等式の表す領域の面積 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ。
\(\begin{eqnarray}\left\{\,\begin{array}{l}\,y{\small ~≦~}2x+1\\\,y{\small ~≧~}-x+2\\\,y{\small ~≧~}x^2\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\left\{\,\begin{array}{l}\,y{\small ~≦~}2x+1\\\,y{\small ~≧~}-x+2\\\,y{\small ~≧~}x^2\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.244 問題 21
\(y{\small ~≦~}2x+1\) は直線 \(y=2x+1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) の下側
\(y{\small ~≧~}-x+2\) は直線 \(y=-x+2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\) の上側
\(y{\small ~≧~}x^2\) は放物線 \(y=x^2~~~\cdots {\small [\,3\,]}\) の上側
また、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~2x+1&=&-x+2
\\[3pt]~~~3x&=&1
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&2x+1
\\[3pt]~~~x^2-2x-1&=&0\end{eqnarray}\)
解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-2) \pm \sqrt{\,(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm \sqrt{\,8\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm 2\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1 \pm \sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&-x+2
\\[3pt]~~~x^2+x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+2)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)
よって、この不等式の表す領域は、
ただし、境界線を含む
この領域の面積は、
区間 \(\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~1\,\right]\) では直線 \(y=2x+1\) が上側、直線 \(y=-x+2\) が下側、区間 \([\,1~,~1+\sqrt{\,2\,}\,]\) では直線 \(y=2x+1\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{\frac{1}{3}}^{1}\{(2x+1)-(-x+2)\}\,dx+\displaystyle\int_{1}^{1+\sqrt{\,2\,}}\{(2x+1)-x^2\}\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{\frac{1}{3}}^{1}(3x-1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2-x\,\right]_{\frac{1}{3}}^{1}
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 1^2-1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-1\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{1}^{1+\sqrt{\,2\,}}(-x^2+2x+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2+x\,\right]_{1}^{1+\sqrt{\,2\,}}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+\sqrt{\,2\,})^2&=&1+2\sqrt{\,2\,}+2
\\[3pt]~~~&=&3+2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(1+\sqrt{\,2\,})^3&=&(1+\sqrt{\,2\,})(3+2\sqrt{\,2\,})
\\[3pt]~~~&=&3+2\sqrt{\,2\,}+3\sqrt{\,2\,}+2 \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&7+5\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(7+5\sqrt{\,2\,})+(3+2\sqrt{\,2\,})+(1+\sqrt{\,2\,})\right\}-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+1+1\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,7+5\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}+4+3\sqrt{\,2\,}\right)-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-(7+5\sqrt{\,2\,})+3(4+3\sqrt{\,2\,})-5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-7-5\sqrt{\,2\,}+12+9\sqrt{\,2\,}-5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,7+5\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}+4+3\sqrt{\,2\,}\right)-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-(7+5\sqrt{\,2\,})+3(4+3\sqrt{\,2\,})-5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-7-5\sqrt{\,2\,}+12+9\sqrt{\,2\,}-5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、領域の面積は \(\displaystyle \frac{\,2+4\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\) となる
