- 数学Ⅱ｜微分と積分「定数を含む関数の面積の分割」の基本例題解説ページです。
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問題｜定数を含む関数の面積の分割
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
定数を含む関数の面積の分割
面積を含む問題で面積の分割の問題は、
① 放物線と \(x\) 軸、放物線と直線との交点の \(x\) 座標をそれぞれ求める。
\(y=-x^2+3x\) より、\(x=0~,~3\)
\(y=-x^2+3x\) と \(y=ax\) より、
\(x=0~,~3-a\)
② グラフよりそれぞれの囲まれた図形の面積を求める。
\(\displaystyle\int_0^{3-a}\{(-x^2+3x)-ax\}\,dx=\displaystyle \frac{\,(3-a)^3\,}{\,6\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
③ 分割の条件より、定数 \(a\) の値を求める。
\({\small [\,2\,]}\) は \({\small [\,1\,]}\) の \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,(3-a)^3\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\)
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詳しい解説｜定数を含む関数の面積の分割
\(0 \lt a \lt 2\) として、放物線 \(y=-x^2+3x\) と直線 \(y=ax\) で囲まれた図形の面積が、放物線 \(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積の \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) であるとき、定数 \(a\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
放物線 \(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+3x&=&0
\\[3pt]~~~-x(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~3\end{eqnarray}\)
また、直線 \(y=ax\) と放物線 \(y=-x^2+3x\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~ax&=&-x^2+3x
\\[3pt]~~~x^2+ax-3x&=&0
\\[3pt]~~~x(x+a-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~3-a\end{eqnarray}\)
ここで \(0 \lt a \lt 2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-2 &\lt& -a \lt 0
\\[3pt]~~~1 &\lt& 3-a \lt 3\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
放物線 \(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積は、区間は \([\,0~,~3\,]\) で \(x\) 軸より上側であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^3(-x^2+3x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^3
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \cdot 3^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-9+\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-18+27\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、放物線 \(y=-x^2+3x\) と直線 \(y=ax\) で囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2+3x\) が上側、直線 \(y=ax\) が下側、区間は \([\,0~,~3-a\,]\) より、
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{3-a}\{-x^2+(3-a)x\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,3-a\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^{3-a}
\\[5pt]~~~&=&\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(3-a)^3+\displaystyle \frac{\,3-a\,}{\,2\,}(3-a)^2\right\}-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,(3-a)^3\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,(3-a)^3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&(3-a)^3\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&(3-a)^3\left(\displaystyle \frac{\,-2+3\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(3-a)^3\,}{\,6\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,1\,]}\) の \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) が \({\small [\,2\,]}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(3-a)^3\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~(3-a)^3&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}6
\\[5pt]~~~(3-a)^3&=&\displaystyle \frac{\,27\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~(3-a)^3&=&\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^3
\\[5pt]~~~3-a&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~-a&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-3
\\[5pt]~~~-a&=&\displaystyle \frac{\,3-6\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~-a&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) となる
