このページは、「定数を含む関数の面積の分割」の練習問題アーカイブページとなります。
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定数を含む関数の面積の分割 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(0 \lt m \lt 2\) とする。放物線 \(y=x(2-x)\) と直線 \(y=mx\) で囲まれた図形の面積が、この放物線と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積の \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) であるという。このとき、定数 \(m\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.245 演習問題B 8
放物線 \(y=x(2-x)\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x(2-x)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~2\end{eqnarray}\)
また、直線 \(y=mx\) と放物線 \(y=x(2-x)\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~mx&=&x(2-x)
\\[3pt]~~~mx&=&2x-x^2
\\[3pt]~~~x^2+mx-2x&=&0
\\[3pt]~~~x(x+m-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~2-m\end{eqnarray}\)
ここで \(0 \lt m \lt 2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-2 &\lt& -m \lt 0
\\[3pt]~~~0 &\lt& 2-m \lt 2\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
放物線 \(y=x(2-x)\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積は、区間は \([\,0~,~2\,]\) で \(x\) 軸より上側であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^2 x(2-x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left[\,x^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(2^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3\right)-0
\\[5pt]~~~&=&4-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12-8\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、放物線 \(y=x(2-x)\) と直線 \(y=mx\) で囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=x(2-x)\) が上側、直線 \(y=mx\) が下側、区間は \([\,0~,~2-m\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^{2-m}\{x(2-x)-mx\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{2-m}\{2x-x^2-mx\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{2-m}\{-x^2+(2-m)x\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,2-m\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^{2-m}
\\[5pt]~~~&=&\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(2-m)^3+\displaystyle \frac{\,2-m\,}{\,2\,}(2-m)^2\right\}-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,(2-m)^3\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,(2-m)^3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&(2-m)^3\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&(2-m)^3\left(\displaystyle \frac{\,-2+3\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2-m)^3\,}{\,6\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{2-m}\{2x-x^2-mx\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{2-m}\{-x^2+(2-m)x\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,2-m\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^{2-m}
\\[5pt]~~~&=&\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(2-m)^3+\displaystyle \frac{\,2-m\,}{\,2\,}(2-m)^2\right\}-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,(2-m)^3\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,(2-m)^3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&(2-m)^3\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&(2-m)^3\left(\displaystyle \frac{\,-2+3\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2-m)^3\,}{\,6\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,1\,]}\) の \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) が \({\small [\,2\,]}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(2-m)^3\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(2-m)^3\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~(2-m)^3&=&1
\\[5pt]~~~(2-m)^3&=&1^3
\\[5pt]~~~2-m&=&1
\\[5pt]~~~-m&=&1-2
\\[5pt]~~~-m&=&-1
\\[5pt]~~~m&=&1\end{eqnarray}\)
\((2-m)^3\) は展開せずに、両辺を \(3\) 乗の式にして計算する。
したがって、\(m=1\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02放物線 \(y=x^2-2x\) がある。この放物線と \(x\) 軸で囲まれた部分の面積を \(S_1\) 、この放物線の \(x{\small ~≧~}2\) の部分と \(x\) 軸および直線 \(x=a\) で囲まれた部分の面積を \(S_2\) とするとき、\(S_1=S_2\) となる定数 \(a\) の値を求めよ。ただし、\(a \gt 2\) とする。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.244 練習問題A 8
放物線 \(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x&=&0
\\[3pt]~~~x(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~2\end{eqnarray}\)
\(S_1\) は放物線 \(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸で囲まれた部分の面積で、区間は \([\,0~,~2\,]\) で \(x\) 軸より下側であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&-\displaystyle\int_0^2(x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2(-x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+12\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\(S_2\) は放物線 \(y=x^2-2x\) の \(x{\small ~≧~}2\) の部分と \(x\) 軸および直線 \(x=a\) で囲まれた部分の面積で、区間は \([\,2~,~a\,]\) で \(x\) 軸より上側であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle\int_2^a(x^2-2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2\,\right]_2^a
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3-x^2\,\right]_2^a
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2\right)-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3-2^2\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(S_1=S_2\) より、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) から、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2&=&0
\\[5pt]~~~a^3-3a^2&=&0
\\[5pt]~~~a^2(a-3)&=&0
\\[5pt]~~~a&=&0~,~3\end{eqnarray}\)
\(a \gt 2\) より、
したがって、\(a=3\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03放物線 \(y=-x(x-2)\) と \(x\) 軸で囲まれた図形を直線 \(y=ax\) で次の図のような2つの部分に分けるとき、上側の部分の面積を \(S_1\) 、下側の部分の面積を \(S_2\) とする。このとき、\(S_1:S_2=1:7\) となるような定数 \(a\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.245 練習問題B 12
放物線 \(y=-x(x-2)\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~2\end{eqnarray}\)
また、直線 \(y=ax\) と放物線 \(y=-x(x-2)\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~ax&=&-x(x-2)
\\[3pt]~~~ax&=&-x^2+2x
\\[3pt]~~~x^2+ax-2x&=&0
\\[3pt]~~~x(x+a-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~2-a\end{eqnarray}\)
放物線 \(y=-x(x-2)\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積は、区間は \([\,0~,~2\,]\) で \(x\) 軸より上側であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1+S_2&=&\displaystyle\int_0^2\{-x(x-2)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^2(-x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+x^2\,\right]_0^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3+2^2\right)-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}+4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-8+12\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(S_1:S_2=1:7\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\(S_1\) は放物線 \(y=-x(x-2)\) が上側、直線 \(y=ax\) が下側、区間は \([\,0~,~2-a\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle\int_0^{2-a}\{-x(x-2)-ax\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{2-a}\{-x^2+2x-ax\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{2-a}\{-x^2+(2-a)x\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,2-a\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^{2-a}
\\[5pt]~~~&=&\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(2-a)^3+\displaystyle \frac{\,2-a\,}{\,2\,}(2-a)^2\right\}-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,(2-a)^3\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,(2-a)^3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&(2-a)^3\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&(2-a)^3\left(\displaystyle \frac{\,-2+3\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2-a)^3\,}{\,6\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{2-a}\{-x^2+2x-ax\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_0^{2-a}\{-x^2+(2-a)x\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+\displaystyle \frac{\,2-a\,}{\,2\,}x^2\,\right]_0^{2-a}
\\[5pt]~~~&=&\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(2-a)^3+\displaystyle \frac{\,2-a\,}{\,2\,}(2-a)^2\right\}-0
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,(2-a)^3\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,(2-a)^3\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&(2-a)^3\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&(2-a)^3\left(\displaystyle \frac{\,-2+3\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2-a)^3\,}{\,6\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(2-a)^3\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~(2-a)^3&=&1
\\[5pt]~~~(2-a)^3&=&1^3
\\[5pt]~~~2-a&=&1
\\[5pt]~~~-a&=&1-2
\\[5pt]~~~-a&=&-1
\\[5pt]~~~a&=&1\end{eqnarray}\)
\((2-a)^3\) は展開せずに、両辺を \(3\) 乗の式にして計算する。
したがって、\(a=1\) となる
