- 数学Ⅱ｜微分と積分「面積が一定となることの証明」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜面積が一定となることの証明
微分と積分 58☆放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((a~,~a^2)\) における接線と放物線 \(y=x^2-1\) で囲まれた図形の面積は \(a\) の値に関係なく一定であることの証明方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
面積が一定となることの証明
Point：面積が一定となることの証明
① 放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((a~,~a^2)\) における接線の方程式を求める。
接線の方程式 \(y=2ax-a^2\)
② 接線と放物線 \(y=x^2-1\) との交点の \(x\) 座標を求める。
\(x^2-1=2ax-a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(x=a-1~,~a+1\)
③ 関数の上側・下側と区間を確認し、定積分の計算で面積が一定であることを示す。
放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((a~,~a^2)\) での接線と放物線 \(y=x^2-1\) で囲まれた図形の面積が一定であることの証明は、
① 放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((a~,~a^2)\) における接線の方程式を求める。
接線の方程式 \(y=2ax-a^2\)
② 接線と放物線 \(y=x^2-1\) との交点の \(x\) 座標を求める。
\(x^2-1=2ax-a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(x=a-1~,~a+1\)
③ 関数の上側・下側と区間を確認し、定積分の計算で面積が一定であることを示す。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜面積が一定となることの証明
微分と積分 58☆
放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((a~,~a^2)\) における接線と放物線 \(y=x^2-1\) で囲まれた図形の面積は \(a\) の値に関係なく一定であることの証明方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
[証明] \(f(x)=x^2\) とおき、微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=a\) のとき接線の傾きは \(f^{\prime}(a)=2a\) となるので、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-a^2&=&2a(x-a)\\[3pt]~~~y&=&2ax-2a^2+a^2\\[3pt]~~~y&=&2ax-a^2\end{eqnarray}\)
この接線 \(y=2ax-a^2\) と放物線 \(y=x^2-1\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-1&=&2ax-a^2\\[3pt]~~~x^2-2ax+a^2-1&=&0\\[3pt]~~~x^2-2ax+(a+1)(a-1)&=&0\\[3pt]~~~\{x-(a-1)\}\{x-(a+1)\}&=&0\\[3pt]~~~x&=&a-1~,~a+1\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
これより、囲まれた図形の面積は、接線 \(y=2ax-a^2\) が上側で放物線 \(y=x^2-1\) が下側、区間が \([\,a-1~,~a+1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{a-1}^{a+1}\{(2ax-a^2)-(x^2-1)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{a-1}^{a+1}(-x^2+2ax-a^2+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2a \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+ax^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{a-1}^{a+1}(-x^2+2ax-a^2+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2a \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+ax^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(x=a+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a+1)^3+a(a+1)^2+(-a^2+1)(a+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3+3a^2+3a+1)+a(a^2+2a+1)+(-a^2+1)(a+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2-a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3+2a^2+a-a^3-a^2+a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3+3a^2+3a+1)+a(a^2+2a+1)+(-a^2+1)(a+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2-a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3+2a^2+a-a^3-a^2+a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(x=a-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a-1)^3+a(a-1)^2+(-a^2+1)(a-1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3-3a^2+3a-1)+a(a^2-2a+1)+(-a^2+1)(a-1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a^2-a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3-2a^2+a-a^3+a^2-a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3-3a^2+3a-1)+a(a^2-2a+1)+(-a^2+1)(a-1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a^2-a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3-2a^2+a-a^3+a^2-a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、面積は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となり、\(a\) の値に関係なく一定である [終]
