このページは、「面積が一定となることの証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01放物線 \(y=x^2+1\) 上の点 \((a~,~b)\) における放物線の接線と放物線 \(y=x^2\) で囲まれた図形の面積は、\(a\) の値に関係なく一定であることを証明せよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.245 演習問題A 4
[証明] \(f(x)=x^2+1\) とおき、微分すると、
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(x=a\) のとき接線の傾きは \(f^{\prime}(a)=2a\) となるので、接線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-(a^2+1)&=&2a(x-a)\\[3pt]~~~y&=&2ax-2a^2+a^2+1\\[3pt]~~~y&=&2ax-a^2+1\end{eqnarray}\)
この接線 \(y=2ax-a^2+1\) と放物線 \(y=x^2\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&2ax-a^2+1\\[3pt]~~~x^2-2ax+a^2-1&=&0\\[3pt]~~~x^2-2ax+(a+1)(a-1)&=&0\\[3pt]~~~\{x-(a-1)\}\{x-(a+1)\}&=&0\\[3pt]~~~x&=&a-1~,~a+1\end{eqnarray}\)
よって、グラフは、
これより、囲まれた図形の面積は、接線 \(y=2ax-a^2+1\) が上側で放物線 \(y=x^2\) が下側、区間が \([\,a-1~,~a+1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{a-1}^{a+1}\{(2ax-a^2+1)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{a-1}^{a+1}(-x^2+2ax-a^2+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2a \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+ax^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{a-1}^{a+1}(-x^2+2ax-a^2+1)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+2a \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}
\\[5pt]~~~&=&\left[\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x^3+ax^2+(-a^2+1)x\,\right]_{a-1}^{a+1}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(x=a+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a+1)^3+a(a+1)^2+(-a^2+1)(a+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3+3a^2+3a+1)+a(a^2+2a+1)+(-a^2+1)(a+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2-a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3+2a^2+a-a^3-a^2+a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3+3a^2+3a+1)+a(a^2+2a+1)+(-a^2+1)(a+1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a^2-a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3+2a^2+a-a^3-a^2+a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(x=a-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a-1)^3+a(a-1)^2+(-a^2+1)(a-1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3-3a^2+3a-1)+a(a^2-2a+1)+(-a^2+1)(a-1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a^2-a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3-2a^2+a-a^3+a^2-a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a^3-3a^2+3a-1)+a(a^2-2a+1)+(-a^2+1)(a-1)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a^2-a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}+a^3-2a^2+a-a^3+a^2-a+1
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)-\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3+a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}a^3-a+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、面積は \(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となり、\(a\) の値に関係なく一定である [終]
