- 数学Ⅱ｜微分と積分「∫a(x-α)(x-β)dxの定積分」の基本例題解説ページです。
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問題｜∫a(x-α)(x-β)dxの定積分
微分と積分 59☆\(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積、\(y=x^2+x-1\) と \(y=2x+1\) で囲まれた図形の面積、\(y=x^2+3x-7\) と \(y=-x^2+x+5\) で囲まれた図形の面積の定積分の公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\) を用いた求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
∫a(x-α)(x-β)dxの定積分
Point：∫a(x-α)(x-β)dxの定積分
① 被積分関数が \(a(x-\alpha)(x-\beta)\) と因数分解でき、区間は \([\,\alpha~,~\beta\,]\) であることを確認する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx
\\[5pt]~~~&=&a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\end{eqnarray}\)
② 公式を用いて、計算結果を確定する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(\beta-\alpha)^3\right\}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\) の公式の使い方は、
① 被積分関数が \(a(x-\alpha)(x-\beta)\) と因数分解でき、区間は \([\,\alpha~,~\beta\,]\) であることを確認する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx
\\[5pt]~~~&=&a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\end{eqnarray}\)
② 公式を用いて、計算結果を確定する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(\beta-\alpha)^3\right\}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜∫a(x-α)(x-β)dxの定積分
微分と積分 59☆
\(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積、\(y=x^2+x-1\) と \(y=2x+1\) で囲まれた図形の面積、\(y=x^2+3x-7\) と \(y=-x^2+x+5\) で囲まれた図形の面積の定積分の公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\) を用いた求め方は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+3x&=&0\\[3pt]~~~-x(x-3)&=&0\\[3pt]~~~x&=&0~,~3\end{eqnarray}\)
よって、囲まれた図形の面積は、区間 \([\,0~,~3\,]\) で \(x\) 軸より上側より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_0^3(-x^2+3x)\,dx\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_0^3x(x-3)\,dx\end{eqnarray}\)
\(\alpha=0~,~\beta=3\) として公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(3-0)^3\right\}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 3^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
放物線 \(y=x^2+x-1\) と直線 \(y=2x+1\) との交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+x-1&=&2x+1\\[3pt]~~~x^2-x-2&=&0\\[3pt]~~~(x+1)(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)
よって、囲まれた図形の面積は、直線 \(y=2x+1\) が上側、放物線 \(y=x^2+x-1\) が下側の区間は \([\,-1~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^2\{(2x+1)-(x^2+x-1)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^2(2x+1-x^2-x+1)\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^2(-x^2+x+2)\,dx\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-1}^2(x^2-x-2)\,dx\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-1}^2(x+1)(x-2)\,dx\end{eqnarray}\)
\(\alpha=-1~,~\beta=2\) として公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{2-(-1)\}^3\right\}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 3^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
放物線 \(y=x^2+3x-7\) と放物線 \(y=-x^2+x+5\) の交点の \(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+3x-7&=&-x^2+x+5\\[3pt]~~~2x^2+2x-12&=&0\\[3pt]~~~2(x^2+x-6)&=&0\\[3pt]~~~2(x+3)(x-2)&=&0\\[3pt]~~~x&=&-3~,~2\end{eqnarray}\)
よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2+x+5\) が上側、放物線 \(y=x^2+3x-7\) が下側の区間は \([\,-3~,~2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^2\{(-x^2+x+5)-(x^2+3x-7)\}\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^2(-x^2+x+5-x^2-3x+7)\,dx\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^2(-2x^2-2x+12)\,dx\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle\int_{-3}^2(x^2+x-6)\,dx\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle\int_{-3}^2(x+3)(x-2)\,dx\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(\alpha=-3~,~\beta=2\) として公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&-2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\right) \cdot \{2-(-3)\}^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 5^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
