∫a(x-α)(x-β)dxの定積分

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.235 練習35

\({\small (1)}~\)放物線 \(y=x^2-2x-3\) と直線 \(y=2x-3\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x-3&=&2x-3
\\[3pt]~~~x^2-4x&=&0
\\[3pt]~~~x(x-4)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~4\end{eqnarray}\)

---

また、放物線 \(y=x^2-2x-3\) は下に凸であるので、

---

---

よって、囲まれた図形の面積は、直線 \(y=2x-3\) が上側、放物線 \(y=x^2-2x-3\) が下側で、区間が \([\,0~,~4\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{0}^{4}\{(2x-3)-(x^2-2x-3)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{4}(-x^2+4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{0}^{4}x(x-4)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=0~,~\beta=4\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(4-0)^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 4^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) となる
 
 
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2-6x+7\) と放物線 \(y=-x^2+2x+1\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2-6x+7&=&-x^2+2x+1
\\[3pt]~~~2x^2-8x+6&=&0
\\[3pt]~~~2(x^2-4x+3)&=&0
\\[3pt]~~~2(x-1)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~3\end{eqnarray}\)

---

これより、

---

---

囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2+2x+1\) が上側、放物線 \(y=x^2-6x+7\) が下側で、区間が \([\,1~,~3\,]\) より、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

\(\alpha=1~,~\beta=3\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-2 \cdot \left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(3-1)^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.223 練習41
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.216 練習38

\({\small (1)}~\)放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=-x+2\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&-x+2
\\[3pt]~~~x^2+x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+2)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)

---

また、放物線 \(y=x^2\) は下に凸であるので、

---

---

よって、囲まれた部分の面積は、直線 \(y=-x+2\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,-2~,~1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}\{(-x+2)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^2+x-2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-2}^{1}(x+2)(x-1)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=-2~,~\beta=1\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{1-(-2)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 3^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる
 
 
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=-x^2+3\) と直線 \(y=2x\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+3&=&2x
\\[3pt]~~~x^2+2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x+3)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3~,~1\end{eqnarray}\)

---

また、放物線 \(y=-x^2+3\) は上に凸であるので、

---

---

よって、囲まれた部分の面積は、放物線 \(y=-x^2+3\) が上側、直線 \(y=2x\) が下側で、区間が \([\,-3~,~1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-3}^{1}\{(-x^2+3)-2x\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{1}(-x^2-2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-3}^{1}(x^2+2x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-3}^{1}(x+3)(x-1)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=-3~,~\beta=1\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{1-(-3)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 4^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) となる
 
 
\({\small (3)}~\)放物線 \(y=-x^2+3x\) と放物線 \(y=x^2-x-6\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+3x&=&x^2-x-6
\\[3pt]~~~2x^2-4x-6&=&0
\\[3pt]~~~2(x^2-2x-3)&=&0
\\[3pt]~~~2(x-3)(x+1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~3\end{eqnarray}\)

---

これより、

---

---

囲まれた部分の面積は、放物線 \(y=-x^2+3x\) が上側、放物線 \(y=x^2-x-6\) が下側で、区間が \([\,-1~,~3\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}\{(-x^2+3x)-(x^2-x-6)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}(-2x^2+4x+6)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle\int_{-1}^{3}(x^2-2x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle\int_{-1}^{3}(x-3)(x+1)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=-1~,~\beta=3\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-2 \cdot \left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{3-(-1)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 4^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.228 問題16(1)

放物線 \(y=x^2\) と放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2&=&2
\\[5pt]~~~x^2&=&4
\\[3pt]~~~x&=&\pm 2\end{eqnarray}\)

---

これより、

---

---

囲まれた部分の面積は、放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,-2~,~2\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\right)-x^2\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\displaystyle\int_{-2}^{2}(x+2)(x-2)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=-2~,~\beta=2\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{2-(-2)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,} \cdot 4^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.227 研究 練習1

\(y=-x^2+6x-7\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+6x-7&=&0
\\[3pt]~~~x^2-6x+7&=&0\end{eqnarray}\)

---

解の公式より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-6) \pm \sqrt{\,(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 7\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \pm \sqrt{\,36-28\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \pm 2\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&3 \pm \sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

---

放物線 \(y=-x^2+6x-7\) は上に凸であるので、区間 \([\,3-\sqrt{\,2\,}~,~3+\sqrt{\,2\,}\,]\) で放物線は \(x\) 軸より上側となる

---

よって、囲まれた部分の面積は、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

\(\alpha=3-\sqrt{\,2\,}~,~\beta=3+\sqrt{\,2\,}\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{(3+\sqrt{\,2\,})-(3-\sqrt{\,2\,})\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot (2\sqrt{\,2\,})^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 16\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,8\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\) となる

数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.219 補充問題 9

\({\small (1)}~\)放物線 \(y=x^2\) と放物線 \(y=-x^2+2x+4\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&-x^2+2x+4
\\[3pt]~~~2x^2-2x-4&=&0
\\[3pt]~~~2(x^2-x-2)&=&0
\\[3pt]~~~2(x-2)(x+1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~2\end{eqnarray}\)

---

これより、

---

---

囲まれた部分の面積は、放物線 \(y=-x^2+2x+4\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,-1~,~2\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(-x^2+2x+4)-x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle\int_{-1}^{2}(x^2-x-2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle\int_{-1}^{2}(x-2)(x+1)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=-1~,~\beta=2\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-2 \cdot \left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{2-(-1)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 3^3
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=9\) となる
 
 
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2\) と放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2&=&2
\\[5pt]~~~x^2&=&4
\\[3pt]~~~x&=&\pm 2\end{eqnarray}\)

---

これより、

---

---

囲まれた部分の面積は、放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,-2~,~2\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left\{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\right)-x^2\right\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{2}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+2\right)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\displaystyle\int_{-2}^{2}(x+2)(x-2)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=-2~,~\beta=2\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{2-(-2)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,} \cdot 4^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,64\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.235 問17

\({\small (1)}~\)放物線 \(y=-x^2-2x\) と直線 \(y=-x\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-x^2-2x&=&-x
\\[3pt]~~~x^2+x&=&0
\\[3pt]~~~x(x+1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~0\end{eqnarray}\)

---

また、放物線 \(y=-x^2-2x\) は上に凸であるので、

---

---

よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2-2x\) が上側、直線 \(y=-x\) が下側で、区間が \([\,-1~,~0\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}\{(-x^2-2x)-(-x)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{0}(-x^2-x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-1}^{0}x(x+1)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=-1~,~\beta=0\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{0-(-1)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 1^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) となる
 
 
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2+2x\) と直線 \(y=x+2\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2+2x&=&x+2
\\[3pt]~~~x^2+x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+2)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)

---

また、放物線 \(y=x^2+2x\) は下に凸であるので、

---

---

よって、囲まれた図形の面積は、直線 \(y=x+2\) が上側、放物線 \(y=x^2+2x\) が下側で、区間が \([\,-2~,~1\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}\{(x+2)-(x^2+2x)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^2+x-2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-2}^{1}(x+2)(x-1)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=-2~,~\beta=1\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{1-(-2)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 3^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる
 
 
\({\small (3)}~\)放物線 \(y=2x^2\) と放物線 \(y=x^2+2x+3\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2x^2&=&x^2+2x+3
\\[3pt]~~~x^2-2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x-3)(x+1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~3\end{eqnarray}\)

---

これより、

---

---

囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=x^2+2x+3\) が上側、放物線 \(y=2x^2\) が下側で、区間が \([\,-1~,~3\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}\{(x^2+2x+3)-2x^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-1}^{3}(x^2-2x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-1}^{3}(x-3)(x+1)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=-1~,~\beta=3\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{3-(-1)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 4^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.238 問題 20

\({\small (1)}~\)放物線 \(y=x^2-2x-8\) と放物線 \(y=-2x^2+x+10\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2-2x-8&=&-2x^2+x+10
\\[3pt]~~~3x^2-3x-18&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-x-6)&=&0
\\[3pt]~~~3(x-3)(x+2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~3\end{eqnarray}\)

---

これより、

---

---

囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-2x^2+x+10\) が上側、放物線 \(y=x^2-2x-8\) が下側で、区間が \([\,-2~,~3\,]\) より、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

\(\alpha=-2~,~\beta=3\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-3 \cdot \left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{3-(-2)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 5^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,125\,}{\,2\,}\) となる
 
 
\({\small (2)}~\)放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=2x+1\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&2x+1
\\[3pt]~~~x^2-2x-1&=&0\end{eqnarray}\)

---

解の公式より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-2) \pm \sqrt{\,(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-1)\,}\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm \sqrt{\,4+4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \pm 2\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1 \pm \sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

また、放物線 \(y=x^2\) は下に凸であるので、

---

---

よって、囲まれた図形の面積は、直線 \(y=2x+1\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,1-\sqrt{\,2\,}~,~1+\sqrt{\,2\,}\,]\) より、

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

\(\alpha=1-\sqrt{\,2\,}~,~\beta=1+\sqrt{\,2\,}\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{(1+\sqrt{\,2\,})-(1-\sqrt{\,2\,})\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot (2\sqrt{\,2\,})^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 16\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,8\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.238 問題 22

2つの放物線 \(y=-3x^2+7x+2\) と \(y=2x^2-3x+2\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-3x^2+7x+2&=&2x^2-3x+2
\\[3pt]~~~5x^2-10x&=&0
\\[3pt]~~~5x(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~2\end{eqnarray}\)

---

\(x=0\) のとき \(y=2\) 、\(x=2\) のとき \(y=4\) より、交点の座標は \((0~,~2)\) 、\((2~,~4)\) となる

---

直線 \(l\) の方程式は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~y-2&=&\displaystyle \frac{\,4-2\,}{\,2-0\,}(x-0)
\\[5pt]~~~y&=&x+2\end{eqnarray}\)

---

---

\(l\) より上方にある部分の面積 \(S_1\)は、放物線 \(y=-3x^2+7x+2\) が上側、直線 \(y=x+2\) が下側で、区間が \([\,0~,~2\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle\int_{0}^{2}\{(-3x^2+7x+2)-(x+2)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(-3x^2+6x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-3\displaystyle\int_{0}^{2}x(x-2)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=0~,~\beta=2\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-3 \cdot \left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(2-0)^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 2^3
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

---

\(l\) より下方にある部分の面積 \(S_2\)は、直線 \(y=x+2\) が上側、放物線 \(y=2x^2-3x+2\) が下側で、区間が \([\,0~,~2\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle\int_{0}^{2}\{(x+2)-(2x^2-3x+2)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(-2x^2+4x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle\int_{0}^{2}x(x-2)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=0~,~\beta=2\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-2 \cdot \left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(2-0)^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 2^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(S_1:S_2=4:\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}=12:8=3:2\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.237 参考 問1
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.252 参考 問1

放物線 \(y=-x^2+3x+5\) と直線 \(y=x+2\) の交点の \(x\) 座標は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+3x+5&=&x+2
\\[3pt]~~~x^2-2x-3&=&0
\\[3pt]~~~(x-3)(x+1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~3\end{eqnarray}\)

---

また、放物線 \(y=-x^2+3x+5\) は上に凸であるので、

---

---

よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2+3x+5\) が上側、直線 \(y=x+2\) が下側で、区間が \([\,-1~,~3\,]\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}\{(-x^2+3x+5)-(x+2)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-1}^{3}(x^2-2x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-1}^{3}(x-3)(x+1)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=-1~,~\beta=3\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{3-(-1)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 4^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,32\,}{\,3\,}\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.244 問17

放物線 \(y=-x^2+3x+4\) と直線 \(y=-x+7\) の交点の \(x\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~-x^2+3x+4&=&-x+7
\\[3pt]~~~x^2-4x+3&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~3\end{eqnarray}\)

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また、放物線 \(y=-x^2+3x+4\) は上に凸であるので、

---

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よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2+3x+4\) が上側、直線 \(y=-x+7\) が下側で、区間が \([\,1~,~3\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{1}^{3}\{(-x^2+3x+4)-(-x+7)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{1}^{3}(x^2-4x+3)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{1}^{3}(x-1)(x-3)\,dx\end{eqnarray}\)

---

\(\alpha=1~,~\beta=3\) として公式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(3-1)^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 2^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.247 Training 27

放物線 \(y=-2x^2-x+5\) と直線 \(y=x-7\) の交点の \(x\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2x^2-x+5&=&x-7
\\[3pt]~~~2x^2+2x-12&=&0
\\[3pt]~~~2(x^2+x-6)&=&0
\\[3pt]~~~2(x+3)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3~,~2\end{eqnarray}\)

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また、放物線 \(y=-2x^2-x+5\) は上に凸であるので、

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よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-2x^2-x+5\) が上側、直線 \(y=x-7\) が下側で、区間が \([\,-3~,~2\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}\{(-2x^2-x+5)-(x-7)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(-2x^2-2x+12)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle\int_{-3}^{2}(x^2+x-6)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle\int_{-3}^{2}(x+3)(x-2)\,dx\end{eqnarray}\)

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\(\alpha=-3~,~\beta=2\) として公式を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&-2 \cdot \left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{2-(-3)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} \cdot 5^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,125\,}{\,3\,}\) となる

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.249 Level Up 12

放物線 \(y=x^2\) と放物線 \(y=-2x^2+3x\) の交点の \(x\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&-2x^2+3x
\\[3pt]~~~3x^2-3x&=&0
\\[3pt]~~~3x(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&0~,~1\end{eqnarray}\)

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\(x=0\) のとき \(y=0\) 、\(x=1\) のとき \(y=1\) より、交点の座標は \((0~,~0)\) 、\((1~,~1)\) となる

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直線 \(m\) の方程式は、

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\(\begin{eqnarray}~~~y-0&=&\displaystyle \frac{\,1-0\,}{\,1-0\,}(x-0)
\\[5pt]~~~y&=&x\end{eqnarray}\)

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\(y=x^2\) と \(m\) で囲まれた図形の面積 \(S_1\)は、直線 \(y=x\) が上側、放物線 \(y=x^2\) が下側で、区間が \([\,0~,~1\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~S_1&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{0}^{1}x(x-1)\,dx\end{eqnarray}\)

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\(\alpha=0~,~\beta=1\) として公式を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(1-0)^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

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\(y=-2x^2+3x\) と \(m\) で囲まれた図形の面積 \(S_2\)は、放物線 \(y=-2x^2+3x\) が上側、直線 \(y=x\) が下側で、区間が \([\,0~,~1\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~S_2&=&\displaystyle\int_{0}^{1}\{(-2x^2+3x)-x\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(-2x^2+2x)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-2\displaystyle\int_{0}^{1}x(x-1)\,dx\end{eqnarray}\)

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\(\alpha=0~,~\beta=1\) として公式を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&-2 \cdot \left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(1-0)^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(S_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) 、\(S_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となり、\(S_1:S_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}:\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=1:2\) となる

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.244 問題 19(1)

放物線 \(y=-x^2\) と直線 \(y=x-2\) の交点の \(x\) 座標は、

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\(\begin{eqnarray}~~~-x^2&=&x-2
\\[3pt]~~~x^2+x-2&=&0
\\[3pt]~~~(x+2)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)

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また、放物線 \(y=-x^2\) は上に凸であるので、

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よって、囲まれた図形の面積は、放物線 \(y=-x^2\) が上側、直線 \(y=x-2\) が下側で、区間が \([\,-2~,~1\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}\{-x^2-(x-2)\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^2+x-2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\int_{-2}^{1}(x+2)(x-1)\,dx\end{eqnarray}\)

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\(\alpha=-2~,~\beta=1\) として公式を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&-\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\{1-(-2)\}^3\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \cdot 3^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\) となる