- 数学Ⅱ｜微分と積分「∫a(x-α)²(x-β)dxの定積分」の基本例題解説ページです。
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問題｜∫a(x-α)²(x-β)dxの定積分
微分と積分 60☆定積分 \(\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2(x-2)\,dx\) の \(\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx\) の不定積分を使った計算方法は？また、定積分の公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\) を使った計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
解法のPoint
∫a(x-α)²(x-β)dxの定積分
Point：∫a(x-α)²(x-β)dxと定積分(ax+b)ⁿ
① \(x-2\) の部分に \(x+1\) をつくり、\(x+1\) について展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2(x-2)\,dx
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2\{(x+1)-3\}\,dx
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(x+1)^3-3(x+1)^2\}\,dx\end{eqnarray}\)
② \((ax+b)^n\) の積分の公式を使って計算する。
\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx\\[3pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a(n+1)\,}(ax+b)^{n+1}+C\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2(x-2)\,dx\) の \((ax+b)^n\) の定積分を使った解法は、
① \(x-2\) の部分に \(x+1\) をつくり、\(x+1\) について展開する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2(x-2)\,dx
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2\{(x+1)-3\}\,dx
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(x+1)^3-3(x+1)^2\}\,dx\end{eqnarray}\)
② \((ax+b)^n\) の積分の公式を使って計算する。
\(\begin{eqnarray}&&\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx\\[3pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a(n+1)\,}(ax+b)^{n+1}+C\end{eqnarray}\)
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Point：∫a(x-α)²(x-β)dxの定積分の公式
① 被積分関数 \(a(x-\alpha)^2(x-\beta)\) と因数分解でき、区間は \([\,\alpha~,~\beta\,]\) であることを確認する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx
\\[5pt]~~~&=&a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\end{eqnarray}\)
② 公式を用いて、計算結果を確定する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\right\}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\) の公式の使い方は、
① 被積分関数 \(a(x-\alpha)^2(x-\beta)\) と因数分解でき、区間は \([\,\alpha~,~\beta\,]\) であることを確認する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx
\\[5pt]~~~&=&a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\end{eqnarray}\)
② 公式を用いて、計算結果を確定する。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\right\}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜∫a(x-α)²(x-β)dxの定積分
微分と積分 60☆
定積分 \(\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2(x-2)\,dx\) の \(\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx\) の不定積分を使った計算方法は？また、定積分の公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\) を使った計算方法は？
高校数学Ⅱ｜微分と積分
\(x-2\) の部分に \(x+1\) をつくり、\(x+1\) について展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2(x-2)\,dx
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2\{(x+1)-3\}\,dx
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(x+1)^3-3(x+1)^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^3\,dx-3\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2\,dx\end{eqnarray}\)
公式
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a(n+1)\,}(ax+b)^{n+1}+C\end{eqnarray}\)
を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1 \cdot (3+1)\,}(x+1)^{3+1}\,\right]_{-1}^{2}-3\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1 \cdot (2+1)\,}(x+1)^{2+1}\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\left[\,(x+1)^4\,\right]_{-1}^{2}-\left[\,(x+1)^3\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(3^4-0^4)-(3^3-0^3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}-27
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81-27 \cdot 4\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81-108\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\left[\,(x+1)^4\,\right]_{-1}^{2}-\left[\,(x+1)^3\,\right]_{-1}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(3^4-0^4)-(3^3-0^3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81\,}{\,4\,}-27
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81-27 \cdot 4\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,81-108\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
【別解】
被積分関数が \((x+1)^2(x-2)\) で、区間が \([\,-1~,~2\,]\) であるので、
公式
\(\begin{eqnarray}~~~&&a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\\[3pt]~~~&=&a\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\right\}\end{eqnarray}\)
を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\\[3pt]~~~&=&a\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\right\}\end{eqnarray}\)
を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2(x-2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\{2-(-1)\}^4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,} \cdot 3^4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
