このページは、「∫a(x-α)²(x-β)dxの定積分」の練習問題アーカイブページとなります。
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∫a(x-α)²(x-β)dxの定積分 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01定積分 \(\displaystyle\int_{-3}^{2}(x+3)^2(x-2)\,dx\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.243 研究 練習3
\(x-2\) の部分に \(x+3\) をつくり、\(x+3\) について展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{2}(x+3)^2(x-2)\,dx
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(x+3)^2\{(x+3)-5\}\,dx
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}\{(x+3)^3-5(x+3)^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{-3}^{2}(x+3)^3\,dx-5\displaystyle\int_{-3}^{2}(x+3)^2\,dx\end{eqnarray}\)
公式
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a(n+1)\,}(ax+b)^{n+1}+C\end{eqnarray}\)
を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1 \cdot (3+1)\,}(x+3)^{3+1}\,\right]_{-3}^{2}-5\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1 \cdot (2+1)\,}(x+3)^{2+1}\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\left[\,(x+3)^4\,\right]_{-3}^{2}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\left[\,(x+3)^3\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(5^4-0^4)-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}(5^3-0^3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,625\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,} \cdot 125
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,625\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,625\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,625 \cdot 3-625 \cdot 4\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1875-2500\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,625\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\left[\,(x+3)^4\,\right]_{-3}^{2}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\left[\,(x+3)^3\,\right]_{-3}^{2}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(5^4-0^4)-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}(5^3-0^3)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,625\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,} \cdot 125
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,625\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,625\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,625 \cdot 3-625 \cdot 4\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1875-2500\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,625\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
【別解】
被積分関数が \((x+3)^2(x-2)\) で、区間が \([\,-3~,~2\,]\) であるので、
公式
\(\begin{eqnarray}~~~&&a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\\[3pt]~~~&=&a\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\right\}\end{eqnarray}\)
を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\\[3pt]~~~&=&a\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\right\}\end{eqnarray}\)
を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{-3}^{2}(x+3)^2(x-2)\,dx
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\{2-(-3)\}^4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,} \cdot 5^4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,625\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の等式を証明せよ。
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\)
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.243 研究 練習4
[証明] \(x-\beta\) の部分に \(x-\alpha\) をつくり、\(x-\alpha\) について展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-\alpha)^2(x-\beta)
\\[3pt]~~~&=&(x-\alpha)^2\{(x-\alpha)+(\alpha-\beta)\}
\\[3pt]~~~&=&(x-\alpha)^3+(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^3+(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(x-\alpha)^4\,\right]_{\alpha}^{\beta}+(\alpha-\beta)\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x-\alpha)^3\,\right]_{\alpha}^{\beta}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\beta-\alpha)^4+(\alpha-\beta) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\beta-\alpha)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\beta-\alpha)^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-4\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^3+(\alpha-\beta)(x-\alpha)^2\}\,dx
\\[5pt]~~~&=&\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(x-\alpha)^4\,\right]_{\alpha}^{\beta}+(\alpha-\beta)\left[\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(x-\alpha)^3\,\right]_{\alpha}^{\beta}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\beta-\alpha)^4+(\alpha-\beta) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\beta-\alpha)^3
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\beta-\alpha)^4-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-4\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\beta-\alpha)^4\)
[終]
