等差数列の項から一般項を求める

初項 \( a \)、公差 \( d \) とおくと、一般項 \( a_n=a+(n-1)d \) となる

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\( n=5 \) のとき、\( a_5=14 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+(5-1)d&=&14
\\[3pt]~~~a+4d&=&14~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( n=7 \) のとき、\( a_7=20 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+(7-1)d&=&20
\\[3pt]~~~a+6d&=&20~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
a+6d&=&20 \\[3pt]
-\big{)}~~a+4d&=&14\\[3pt]
\hline 0+2d&=&6
\\[3pt] d&=&3\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+4\cdot3&=&14
\\[3pt]~~~a+12&=&14
\\[3pt]~~~a&=&2
\end{eqnarray}\)

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初項 \( a=2 \)、公差 \( d=3 \) より、一般項 \( a_n \) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&2+(n-1)\cdot3
\\[3pt]~~~&=&2+3n-3
\\[3pt]~~~&=&3n-1
\end{eqnarray}\)

 

次に、第 \(n\) 項が \(29\) であると、

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\(\begin{eqnarray}~~~3n-1&=&29
\\[3pt]~~~3n&=&30
\\[3pt]~~~n&=&10
\end{eqnarray}\)

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よって、\(29\) は第 \(10\) 項である