- 数学B｜数列「等差数列の和から項数を求める」の基本例題解説ページです。
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問題｜等差数列の和から項数を求める
数列 10初項 \(2\)、公差 \(3\) の等差数列の和が \(40\) となるのは初項から第何項までの和となるか？
高校数学B｜数列
解法のPoint
等差数列の和から項数を求める
Point：等差数列の和から項数を求める
① 項数を \( n \) として、等差数列の和の公式を用いる。
\(S_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,\left\{\, 2a+(n-1)d \,\right\}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\{\,2\cdot2+(n-1)\cdot3\,\}=40\end{eqnarray}\)
② 式を整理して \( n \) の2次方程式を解く。ただし、\( n \) は自然数である。
\(\begin{eqnarray}~~~3n^2+n-80&=&0
\\[3pt]~~~(3n+16)(n-5)&=&0
\\[3pt]~~~n&=&5
\end{eqnarray}\)
等差数列の和の値から項数 \( n \) の求め方は、
① 項数を \( n \) として、等差数列の和の公式を用いる。
\(S_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,\left\{\, 2a+(n-1)d \,\right\}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\{\,2\cdot2+(n-1)\cdot3\,\}=40\end{eqnarray}\)
② 式を整理して \( n \) の2次方程式を解く。ただし、\( n \) は自然数である。
\(\begin{eqnarray}~~~3n^2+n-80&=&0
\\[3pt]~~~(3n+16)(n-5)&=&0
\\[3pt]~~~n&=&5
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜等差数列の和から項数を求める
数列 10
初項 \(2\)、公差 \(3\) の等差数列の和が \(40\) となるのは初項から第何項までの和となるか？
高校数学B｜数列
初項 \( a=2 \)、公差 \( d=3 \)、初項から第 \( n \) 項までの和を \( S_n=40 \) とおくと、等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~S_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\left\{\,2\cdot2+(n-1)\cdot3\,\right\}&=&40
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n(\,4+3n-3\,)&=&40
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n(\,3n+1\,)&=&40
\\[5pt]~~~n(\,3n+1\,)&=&80
\\[3pt]~~~3n^2+n-80&=&0
\end{eqnarray}\)
たすき掛けの因数分解より、
\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~3&&16&16\\[-1pt]
&{\times} & & \\[-1pt]
~1&&-5&-15\\[2pt]
\hline
&&&1
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(3n+16)(n-5)&=&0
\\[3pt]~~~n&=&5~,~-\,\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\( n \) は自然数より、\( n=5 \)
したがって、初項から第 \(5\) 項までの和となる
