- 数学B｜数列「自然数の和と倍数の和」の基本例題解説ページです。
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問題｜自然数の和と倍数の和
数列 11\(1\) 〜 \(n\) までの自然数の和の求め方は？
また、\(1\) 〜 \(100\) までの自然数のうち \(2\) の倍数の和の求め方は？さらに、\(3\) で割って \(1\) 余る数の和の求め方は？
また、\(1\) 〜 \(100\) までの自然数のうち \(2\) の倍数の和の求め方は？さらに、\(3\) で割って \(1\) 余る数の和の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
自然数の和と倍数の和
Point：自然数の和と倍数の和
① \(2\) の倍数 \(2n\) となる自然数の数列を書き並べる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,2\,,\,4\,,\,6\,,\,\cdots\,,\,100\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,2\cdot1\,,\,2\cdot2\,,\,2\cdot3\,,\,\cdots\,,\,2\cdot50\,\}
\end{eqnarray}\)
② 初項と末項と項数を読み取る。
初項 \(a=2\)、末項 \(l=100\)、
\(2n\) の \(n\) が \(1\) 〜 \(50\) まであるので、項数 \(50\)。
③ 等差数列の和の公式を用いる。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(a+l)\)
\(1\) 〜 \(100\) までの自然数のうち、\(2\) の倍数の和の求め方は、
① \(2\) の倍数 \(2n\) となる自然数の数列を書き並べる。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,2\,,\,4\,,\,6\,,\,\cdots\,,\,100\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,2\cdot1\,,\,2\cdot2\,,\,2\cdot3\,,\,\cdots\,,\,2\cdot50\,\}
\end{eqnarray}\)
② 初項と末項と項数を読み取る。
初項 \(a=2\)、末項 \(l=100\)、
\(2n\) の \(n\) が \(1\) 〜 \(50\) まであるので、項数 \(50\)。
③ 等差数列の和の公式を用いる。
\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(a+l)\)
※ \(3\) で割って \(1\) 余る数列では、
\(3n+1\) として \(n\) の範囲を求め、項数を数える。
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詳しい解説｜自然数の和と倍数の和
数列 11
\(1\) 〜 \(n\) までの自然数の和の求め方は？
また、\(1\) 〜 \(100\) までの自然数のうち \(2\) の倍数の和の求め方は？さらに、\(3\) で割って \(1\) 余る数の和の求め方は？
高校数学B｜数列
自然数の数列 \( \{\,1\,,\,2\,,\,3\,,\,\cdots\,,\,n\,\} \) の和は、
初項 \(1\)、末項 \(n\)、項数 \(n\) の等差数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot n\cdot(1+n)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\end{eqnarray}\)
\(1\) 〜 \(100\) までの自然数のうち \(2\) の倍数の数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,2\,,\,4\,,\,6\,,\,\cdots\,,\,100\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,2\cdot1\,,\,2\cdot2\,,\,2\cdot3\,,\,\cdots\,,\,2\cdot50\,\}
\end{eqnarray}\)
これより、初項 \(2\)、末項 \(100\) で、
項数は \(2n\) の \(n\) が \(1\) 〜 \(50\) までの \(50\) 個あるので、項数 \(50\) となり、等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 50 \cdot (2+100)
\\[3pt]~~~&=&25\cdot 102
\\[3pt]~~~&=&2550
\end{eqnarray}\)
\(1\) 〜 \(100\) の自然数のうち \(3\) で割って \(1\) 余る数列は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\{\,1\,,\,4\,,\,7\,,\,\cdots\,,\,100\,\}
\\[3pt]~~~&=&\{\,3\cdot0+1\,,\,3\cdot1+1\,,\,3\cdot2+1\,,\,\cdots\,,\,3\cdot33+1\,\}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\{\,3\cdot0+1\,,\,3\cdot1+1\,,\,3\cdot2+1\,,\,\cdots\,,\,3\cdot33+1\,\}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、初項 \(1\)、末項 \(100\) で、
項数は \(3n+1\) の \(n\) が \(0\) 〜 \(33\) までの \(34\) 個あるので、項数 \(34\) となり、等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 34 \cdot (1+100)
\\[3pt]~~~&=&17\cdot 101
\\[3pt]~~~&=&1717
\end{eqnarray}\)
