等差数列の項と和から一般項を求める

初項を \( a \)、公差を \( d \) とすると、

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\( a_5=11 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+(5-1)\,d&=&11
\\[3pt]~~~a+4d&=&11~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( S_{10}=120 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10 \left\{ 2a+(10-1)\,d \right\}&=&120
\\[5pt]~~~5(2a+9d)&=&120
\\[5pt]~~~2a+9d&=&24~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}{\, \small \times \,}2\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~
2a+9d&=&24 \\[3pt]
-\big{)}~~2a+8d&=&22\\[3pt]
\hline d&=&2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+4\cdot 2&=&11
\\[3pt]~~~a+8&=&11
\\[3pt]~~~a&=&3
\end{eqnarray}\)

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したがって、初項 \(3\)、公差 \(2\) より、等差数列の一般項は、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&3+(n-1)\cdot2
\\[3pt]~~~&=&3+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n+1
\end{eqnarray}\)