- 数学B｜数列「2つの等差数列の共通項の数列」の基本例題解説ページです。
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問題｜2つの等差数列の共通項の数列
数列 16☆\(2\) つの等差数列 \(a_n=3n+2 ~,~ b_n=5n-1\) に共通して含まれる項を小さい順にならべた数列 \(\{c_n\}\) の一般項の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
2つの等差数列の共通項の数列
Point：2つの等差数列の共通項の数列
① それぞれの数列の公差を求め、その最小公倍数が共通項の数列の公差である。
\(a_n=5+(n-1)\cdot3 \) より、公差は \(3\)
\(b_n=4+(n-1)\cdot5 \) より、公差は \(5\)
よって、\(\{c_n\}\) の公差は最小公倍数の \(15\)。
② それぞれの数列を書き並べて、共通項の数列の初項を求める。
\(\begin{eqnarray}~&&a_n:5\,,\,8\,,\,11\,,\,\underline{14}\,,\,17\,,\,20\,,\,23\,,\,26\,,\,\underline{29}\,,\cdots
\\[5pt]~&&b_n:4\,,\,9\,,\,\underline{14}\,,\,19\,,\,24\,,\,\underline{29}\,,\,34\,,\cdots
\end{eqnarray}\)
よって、\(\{c_n\}\) の初項は \(14\)。
③ 初項と公差より、一般項 \(c_n\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~c_n&=&14+(n-1)\cdot15=15n-1\end{eqnarray}\)
2つの等差数列 \(\{a_n\}~,~\{b_n\}\) の共通項の数列は、
① それぞれの数列の公差を求め、その最小公倍数が共通項の数列の公差である。
\(a_n=5+(n-1)\cdot3 \) より、公差は \(3\)
\(b_n=4+(n-1)\cdot5 \) より、公差は \(5\)
よって、\(\{c_n\}\) の公差は最小公倍数の \(15\)。
② それぞれの数列を書き並べて、共通項の数列の初項を求める。
\(\begin{eqnarray}~&&a_n:5\,,\,8\,,\,11\,,\,\underline{14}\,,\,17\,,\,20\,,\,23\,,\,26\,,\,\underline{29}\,,\cdots
\\[5pt]~&&b_n:4\,,\,9\,,\,\underline{14}\,,\,19\,,\,24\,,\,\underline{29}\,,\,34\,,\cdots
\end{eqnarray}\)
よって、\(\{c_n\}\) の初項は \(14\)。
③ 初項と公差より、一般項 \(c_n\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~c_n&=&14+(n-1)\cdot15=15n-1\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜2つの等差数列の共通項の数列
数列 16☆
\(2\) つの等差数列 \(a_n=3n+2 ~,~ b_n=5n-1\) に共通して含まれる項を小さい順にならべた数列 \(\{c_n\}\) の一般項の求め方は？
高校数学B｜数列
数列 \(\{a_n\}\) について、
\( a_n=3n+2=5+(n-1)\cdot3 \) より、
初項は \(5\)、公差は \(3\) である
数列 \(\{b_n\}\) について、
\( b_n=5n-1=4+(n-1)\cdot5 \) より、
初項は \(4\)、公差は \(5\) である
よって、\(3\) と \(5\) の最小公倍数が \(15\) となるので、
数列 \( \{c_n\} \) の公差は \(15\) となる
次に、それぞれの数列を書き並べると、
\(\begin{eqnarray}~&&a_n:5\,,\,8\,,\,11\,,\,\underline{14}\,,\,17\,,\,20\,,\,23\,,\,26\,,\,\underline{29}\,,\cdots
\\[5pt]~&&b_n:4\,,\,9\,,\,\underline{14}\,,\,19\,,\,24\,,\,\underline{29}\,,\,34\,,\cdots
\end{eqnarray}\)
これより、数列 \(\{c_n\}\) の初項は \(14\) となる
したがって、数列 \( \{c_n\} \) は初項 \(14\)、公差 \(15\) の等差数列となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~c_n&=&14+(n-1)\cdot15
\\[3pt]~~~&=&14+15n-15
\\[3pt]~~~&=&15n-1
\end{eqnarray}\)
