- 数学B｜数列「等比数列であることの証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜等比数列であることの証明
数列 20\(a_n=3^n ~,~ b_n=5^n\) のとき、\(c_n=a_n b_n\) となる数列 \(\{c_n\}\) が等比数列であることの証明方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
等比数列であることの証明
Point：等比数列であることの証明
① 一般項 \( c_n \) より、第 \(n+1\) 項 \( c_{n+1} \) を求める。
\(c_n=~3^n\cdot 5^n\) より、\(c_{n+1}=~3^{n+1}\cdot 5^{n+1}\)
② \( c_{n+1} \) と \( c_n \) の商を求めて、その値が一定であれば数列 \( \{c_n\} \) は等比数列である。
\(\displaystyle \frac{\,c_{n+1}\,}{\,c_n\,}=\displaystyle \frac{\,3^{n+1}\cdot 5^{n+1}\,}{\,3^{n}\cdot 5^{n}\,}=15\)
※ この値が公比 \(r\) となる。
等比数列であることの証明方法は、
① 一般項 \( c_n \) より、第 \(n+1\) 項 \( c_{n+1} \) を求める。
\(c_n=~3^n\cdot 5^n\) より、\(c_{n+1}=~3^{n+1}\cdot 5^{n+1}\)
② \( c_{n+1} \) と \( c_n \) の商を求めて、その値が一定であれば数列 \( \{c_n\} \) は等比数列である。
\(\displaystyle \frac{\,c_{n+1}\,}{\,c_n\,}=\displaystyle \frac{\,3^{n+1}\cdot 5^{n+1}\,}{\,3^{n}\cdot 5^{n}\,}=15\)
※ この値が公比 \(r\) となる。
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詳しい解説｜等比数列であることの証明
数列 20
\(a_n=3^n ~,~ b_n=5^n\) のとき、\(c_n=a_n b_n\) となる数列 \(\{c_n\}\) が等比数列であることの証明方法は？
高校数学B｜数列
[証明]
\(c_n=a_n\cdot b_n=3^n\cdot 5^n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、
第 \(n+1\) 項は、
\(c_{n+1}=a_{n+1}\cdot b_{n+1}=3^{n+1}\cdot 5^{n+1}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(\displaystyle \frac{\,c_{n+1}\,}{\,c_{n}\,}\) の値は、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,c_{n+1}\,}{\,c_n\,}&=&\displaystyle \frac{\,3^{n+1}\cdot 5^{n+1}\,}{\,3^{n}\cdot 5^{n}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^{n}\cdot 3 \cdot 5^{n}\cdot 5\,}{\,3^{n}\cdot 5^{n}\,}
\\[5pt]~~~&=&3\cdot 5
\\[3pt]~~~&=&15
\end{eqnarray}\)
したがって、すべての自然数 \( n \) について、
\( \displaystyle \frac{\,c_{n+1}\,}{\,c_n\,}=15 \) で一定であるので数列 \( \{c_n\} \) は等比数列である [終]
