- 数学B｜数列「等比数列の和から初項と公比を求める」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜等比数列の和から初項と公比を求める
数列 24等比数列の和が \(S_3=21 ~,~ S_6=189\) のとき、この等比数列の初項と公比の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
等比数列の和から初項と公比を求める
Point：等比数列の和から初項と公比を求める
① 初項を \(a\)、公比を \(r\) とおき、条件より等比数列の和の公式を用いる。
\(S_3=21\) より、\(\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)\,}{\,r-1\,}=21\)
\(S_6=189\) より、\(\displaystyle \frac{\,a(r^6-1)\,}{\,r-1\,}=189\)
② 因数分解 \(r^6-1=(r^3+1)(r^3-1)\) を用いて計算し、初項 \(a\)、公比 \(r\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)(r^3+1)\,}{\,r-1\,}=189\) として、
\(\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)\,}{\,r-1\,}=21\) を代入する。
等比数列の和の条件から、初項と公比の求め方は、
① 初項を \(a\)、公比を \(r\) とおき、条件より等比数列の和の公式を用いる。
\(S_3=21\) より、\(\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)\,}{\,r-1\,}=21\)
\(S_6=189\) より、\(\displaystyle \frac{\,a(r^6-1)\,}{\,r-1\,}=189\)
② 因数分解 \(r^6-1=(r^3+1)(r^3-1)\) を用いて計算し、初項 \(a\)、公比 \(r\) を求める。
\(\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)(r^3+1)\,}{\,r-1\,}=189\) として、
\(\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)\,}{\,r-1\,}=21\) を代入する。
©︎ 2025 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜等比数列の和から初項と公比を求める
数列 24
等比数列の和が \(S_3=21 ~,~ S_6=189\) のとき、この等比数列の初項と公比の求め方は？
高校数学B｜数列
初項を \(a\)、公比を \(r\)、初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とすると、
\(S_3=21\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)\,}{\,r-1\,}&=&21~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(S_6=189\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(r^6-1)\,}{\,r-1\,}&=&189~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(r^6-1=(r^3+1)(r^3-1)\) より、\({\small [\,2\,]}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(r^3-1)(r^3+1)\,}{\,r-1\,}=189\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~21(r^3+1)&=&189
\\[3pt]~~~r^3+1&=&9
\\[3pt]~~~r^3&=&8
\\[3pt]~~~r&=&2
\end{eqnarray}\)
\(r=2\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a(2^3-1)\,}{\,2-1\,}&=&21
\\[5pt]~~~a(8-1)&=&21
\\[3pt]~~~7a&=&21
\\[3pt]~~~a&=&3
\end{eqnarray}\)
したがって、初項 \(3\)、公比 \(2\) となる
