等比数列のa₁+a₂とa₃+a₄の値

初項を \( a \)、公比を \( r~(\,r\gt 0\,)\) とおくと、一般項は \( a_n=a\,r^{n-1} \)

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\(a_1+a_2=9\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+a\cdot r&=&9~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\(a_3+a_4=36\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a\cdot r^2+a\cdot r^3&=&36~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

 

\({\small [\,2\,]}\) より、共通因数 \( r^2 \) でくくると、

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\(\begin{eqnarray}~~~r^2\left(a+a\cdot r\right)&=&36
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~r^2\cdot 9&=&36
\\[3pt]~~~r^2&=&4
\\[3pt]~~~r&=&2 \hspace{30pt}(\,∵~ r\gt 0\,)
\end{eqnarray}\)

 

\(r=2\) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+a\cdot 2&=&9
\\[3pt]~~~3a&=&9
\\[3pt]~~~a&=&3
\end{eqnarray}\)

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したがって、初項 \(3\)、公比 \(2\) より、

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　一般項 \( a_n=3\cdot 2^{\,n-1} \) となる