- 数学B｜数列「自然数の2乗の和と3乗の和」の基本例題解説ページです。
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問題｜自然数の2乗の和と3乗の和
数列 26自然数の \(2\) 乗の和 \(1^2+2^2+3^2+\cdots+10^2\)、
自然数の \(3\) 乗の和 \(1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3\) の求め方は？
自然数の \(3\) 乗の和 \(1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
自然数の2乗の和と3乗の和
Point：自然数の2乗の和と3乗の和
自然数の和は、等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}&&1+2+3+\cdots+n\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(n+1)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}&&1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,n\,(n+1)\,(2n+1)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}&&1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\\[5pt]&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(n+1)\right\}^{2}\end{eqnarray}\)
\(n\) を自然数として、
自然数の和は、等差数列の和の公式より、
\(\begin{eqnarray}&&1+2+3+\cdots+n\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(n+1)\end{eqnarray}\)
自然数の2乗の和は、
\(\begin{eqnarray}&&1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\\[5pt]&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,n\,(n+1)\,(2n+1)\end{eqnarray}\)
自然数の3乗の和は、
\(\begin{eqnarray}&&1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\\[5pt]&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(n+1)\right\}^{2}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜自然数の2乗の和と3乗の和
数列 26
自然数の \(2\) 乗の和 \(1^2+2^2+3^2+\cdots+10^2\)、
自然数の \(3\) 乗の和 \(1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3\) の求め方は？
高校数学B｜数列
自然数の2乗の和は、
\(\begin{eqnarray}&&1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\,n\,(n+1)\,(2n+1)\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1^2+2^2+3^2+\cdots+10^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 10\cdot (10+1)\cdot (2\cdot 10+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 10\cdot 11\cdot 21
\\[3pt]~~~&=&5\cdot 11\cdot 7
\\[3pt]~~~&=&385
\end{eqnarray}\)
自然数の3乗の和は、
\(\begin{eqnarray}&&1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,n\,(n+1)\right\}^{2}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3
\\[5pt]~~~&=&\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 10\cdot (10+1)\right\}^{2}
\\[5pt]~~~&=&(5\cdot 11)^2
\\[3pt]~~~&=&55^2
\\[3pt]~~~&=&3025
\end{eqnarray}\)
