- 数学B｜数列「等比数列の和とシグマ記号」の基本例題解説ページです。
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問題｜等比数列の和とシグマ記号
数列 30数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}2^{k-1}\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-2)^{k}\) の求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
等比数列の和とシグマ記号
Point：等比数列の和とシグマ記号
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a\,r^{k-1}=\displaystyle \frac{\,a\,(r^{n}-1)\,}{\,r-1\,}=\displaystyle \frac{\,a\,(1-r^{n})\,}{\,1-r\,}\)
① 初項は \( k=1 \) のとき、\( a\,r^{1-1}=a \)
これらを読み取り、等比数列の和の公式を用いる。
初項を \( a \)、公比 \( r~~(\,r\neq 1\,) \)、項数 \( n \) の等比数列の和は、 第 \(k\) 項が \( a\,r^{k-1} \) であることより、
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a\,r^{k-1}=\displaystyle \frac{\,a\,(r^{n}-1)\,}{\,r-1\,}=\displaystyle \frac{\,a\,(1-r^{n})\,}{\,1-r\,}\)
■ 等比数列のシグマ記号の計算
① 初項は \( k=1 \) のとき、\( a\,r^{1-1}=a \)
② 公比は、\( a\,r^{k-1} \) より、\( r \)
③ 項数は、\( k=1\sim n \) より、\( n \)
これらを読み取り、等比数列の和の公式を用いる。
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詳しい解説｜等比数列の和とシグマ記号
数列 30
数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}2^{k-1}\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-2)^{k}\) の求め方は？
高校数学B｜数列
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}2^{k-1} \) について、
初項は、\( k=1 \) のとき、\( 2^{1-1}=2^0=1 \)
公比は、\( 2^{k-1} \) より、\(2\) となり、
項数は、\( k=1\sim10 \) より、\(10\) 項である
等比数列の和の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{k=1}^{10}2^{k-1}&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot\!\left(2^{10}-1\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1024-1\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1023
\end{eqnarray}\)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1} \) について、
初項は、\( k=1 \) のとき、\( 3\cdot 2^{1-1}=3\cdot 2^0=3 \)
公比は、\( 3\cdot 2^{k-1} \) より、\(2\) となり
項数は、\( k=1\sim n \) より、\( n \) 項である
等比数列の和の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}&=&\displaystyle \frac{\,3\left(2^{n}-1\right)\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&3\left(2^{n}-1\right)
\end{eqnarray}\)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-2)^{k} \) について、
初項は、\( k=1 \) のとき、\( (-2)^{1}=-2 \)
公比は、\( (-2)^{k} \) より、\(-2\) となり、
項数は、\( k=1\sim n \) より、\( n \) 項である
等比数列の和の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-2)^{k}&=&\displaystyle \frac{\,-2\cdot \left\{\,1-(-2)^{n}\,\right\}\,}{\,1-(-2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2\cdot \left\{\,1-(-2)^{n}\,\right\}\,}{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle -\frac{\,2\,}{\,3\,}\left\{\,1-(-2)^{n}\,\right\}
\end{eqnarray}\)
