- 数学B｜数列「階差数列をもつ数列の一般項」の基本例題解説ページです。
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問題｜階差数列をもつ数列の一般項
数列 36次の数列の一般項を階差数列から求める方法は？
\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 13 ~,~ 21 ~,~ \cdots~\}\)
\({\small (2)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 15 ~,~ 31 ~,~ \cdots~\}\)
\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 13 ~,~ 21 ~,~ \cdots~\}\)
\({\small (2)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 15 ~,~ 31 ~,~ \cdots~\}\)
高校数学B｜数列
解法のPoint
階差数列をもつ数列の一般項
Point：階差数列をもつ数列の一般項
① 数列 \( \{a_n\} \) の隣り合う項の差より、階差数列 \( \{b_n\} \) の一般項を求める。
\(\begin{eqnarray}~&&a_1~~,~~a_2~~,~~a_3~~,~~\cdots~~,~~a_{n-1}~~,~~a_n~~,~~\cdots
\\[-5pt]&&~~~\rightarrow ~ ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ \rightarrow \hspace{24pt} ~ ~ ~ ~ ~ ~\rightarrow
\\[-5pt]&&~~+b_{1} ~ \,+b_{2} ~ \,+b_{3}\, ~ ~\cdots\, ~+b_{n-1}
\end{eqnarray}\)
② \( n{\small ~≧~}2 \) のとき、公式より数列 \( \{a_n\} \) の一般項を求める。
\( a_n \) は初項 \( a_1 \) から階差数列 \( \{b_n\} \) の
\( 1\sim n-1 \) までの項の和となるので、
\(a_n=a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k\)
③ 求めた \( a_n \) が \( n=1 \) でも式が成り立つかを確認する。
階差数列 \( \{b_n\} \) をもつ数列 \( \{a_n\} \) の一般項は、
① 数列 \( \{a_n\} \) の隣り合う項の差より、階差数列 \( \{b_n\} \) の一般項を求める。
\(\begin{eqnarray}~&&a_1~~,~~a_2~~,~~a_3~~,~~\cdots~~,~~a_{n-1}~~,~~a_n~~,~~\cdots
\\[-5pt]&&~~~\rightarrow ~ ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ \rightarrow \hspace{24pt} ~ ~ ~ ~ ~ ~\rightarrow
\\[-5pt]&&~~+b_{1} ~ \,+b_{2} ~ \,+b_{3}\, ~ ~\cdots\, ~+b_{n-1}
\end{eqnarray}\)
② \( n{\small ~≧~}2 \) のとき、公式より数列 \( \{a_n\} \) の一般項を求める。
\( a_n \) は初項 \( a_1 \) から階差数列 \( \{b_n\} \) の
\( 1\sim n-1 \) までの項の和となるので、
\(a_n=a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k\)
③ 求めた \( a_n \) が \( n=1 \) でも式が成り立つかを確認する。
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詳しい解説｜階差数列をもつ数列の一般項
数列 36
次の数列の一般項を階差数列から求める方法は？
\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 13 ~,~ 21 ~,~ \cdots~\}\)
\({\small (2)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 15 ~,~ 31 ~,~ \cdots~\}\)
高校数学B｜数列
\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 13 ~,~ 21 ~,~ \cdots~\}\)
数列 \(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 13 ~,~ 21 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、
\(\begin{eqnarray}~&&1~~,~~3~~,~~7~~\,,~~13~~,~~21~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+2 ~ \,+4 ~ \,+6\, ~ +8
\end{eqnarray}\)
\( \{\,2~,~4~,~6~,~8~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(2\)、公差 \(2\) の等差数列より、一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&2+(n-1)\cdot2
\\[3pt]~~~&=&2+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n
\end{eqnarray}\)
よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2k
\\[5pt]~~~&=&1+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k
\end{eqnarray}\)
公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) を \(n \to n-1\) に書き換えると、
\(\begin{eqnarray}~~~~~~~&=&1+2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\{(n-1)+1\}
\\[5pt]~~~&=&1+(n-1)\cdot n
\\[3pt]~~~&=&1+n^2-n
\\[3pt]~~~&=&n^2-n+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1^2-1+1=1\end{eqnarray}\)
よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
したがって、一般項は \( a_n=n^2-n+1 \) となる
\({\small (2)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 15 ~,~ 31 ~,~ \cdots~\}\)
数列 \(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 15 ~,~ 31 ~,~ \cdots~\}\) の階差数列は、
\(\begin{eqnarray}~&&1~~,~~3~~,~~7~~\,,~~15~~,~~31~~\,,\,~\cdots
\\[-5pt]&&~\rightarrow ~ ~\rightarrow ~ ~ \rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+2 ~ +4 ~+8\, ~ ~ +16
\end{eqnarray}\)
\( \{\,2~,~4~,~8~,~16~,~\cdots\,\} \) となり、初項 \(2\)、公比 \(2\) の等比数列で、一般項は、
\(b_n=2\cdot 2^{\,n-1}=2^n \)
よって、\( n{\small ~≧~}2 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^k
\end{eqnarray}\)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^k \) は初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,2\left(2^{\,n-1}-1\right)}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,2\cdot 2^{\,n-1}-2\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1+2^n-2
\\[3pt]~~~&=&2^n-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで \( n=1 \) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^1-1=1\end{eqnarray}\)
よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ
したがって、一般項は \( a_n=2^n-1 \) となる
