隣り合う2つの項が等差数列or等比数列

この数列 \(\{a_n\}\) の階差数列 \(\{b_n\}\) は、

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\(\begin{eqnarray}~&&3~~~,~~~5~~~,~~~9
\\[-5pt]&&~~\rightarrow ~ ~ ~ ~ \rightarrow
\\[-5pt]&&~+2 ~ ~ ~ \,+4
\end{eqnarray}\)

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これより、\(\{\,2~,~4\,\}\) となり、この階差数列が等差数列のとき、

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初項が \(2\)、公差が \(2\) であるので、一般項は、

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\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&2+(n-1)\cdot 2
\\[3pt]~~~&=&2+2n-2
\\[3pt]~~~&=&2n
\end{eqnarray}\)

 

よって、\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2k
\\[5pt]~~~&=&3+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k
\end{eqnarray}\)

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公式 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\) を \(n \to n-1\) に書き換えると、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~~&=&3+2\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\{(n-1)+1\}
\\[5pt]~~~&=&3+(n-1)n
\\[3pt]~~~&=&3+n^2-n
\\[3pt]~~~&=&n^2-n+3~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

 

ここで、\(n=1\) のとき、\(\small [\,1\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&1^2-1+3=3
\end{eqnarray}\)

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よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,1\,]\) が成り立つ

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したがって、一般項は \( a_n=n^2-n+3 \) となる

 
 

次に、階差数列 \(\{\,2~,~4\,\}\) が等比数列のとき、

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初項が \(2\)、公比が \(2\) であるので、一般項は、

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\(\begin{eqnarray}~~~b_n&=&2\cdot 2^{n-1}=2^n
\end{eqnarray}\)

 

よって、\(n{\small ~≧~}2\) のとき、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k}
\end{eqnarray}\)

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\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 2^k \) は初項 \(2\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~~~~&=&3+\displaystyle \frac{\,2\{2^{n-1}-1\}\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&3+\displaystyle \frac{\,2\cdot 2^{n-1}-2\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&3+2^{n}-2
\\[3pt]~~~&=&2^{n}+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

 

ここで、\(n=1\) のとき、\(\small [\,2\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&2^{1}+1=3
\end{eqnarray}\)

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よって、\( n=1 \) のときも \(\small [\,2\,]\) が成り立つ

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したがって、一般項は \( a_n=2^{n}+1 \) となる