- 数学B｜数列「3つの因数をもつ分数数列の和」の基本例題解説ページです。
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問題｜3つの因数をもつ分数数列の和
数列 41☆分数数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}\) を部分分数に分けて求める方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
3つの因数をもつ分数数列の和
Point：3つの因数をもつ分数数列の和
① 分数数列を部分分数に分ける恒等式を作る。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}-\frac{\,1\,}{\,(k+1)(k+2)\,}
\end{eqnarray}\)
※ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,{\small \text {小中}}\,}-\frac{\,1\,}{\,{\small \text {中大}}\,}\) になるように分ける。
② 部分分数に分けた式に \(k=1\sim n\) までの自然数を代入した項を書き並べる。
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~=&&\left(\frac{\,1\,}{\,1\cdot2\,}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\cdot3\,}}\right)
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\cdot3\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\cdot4\,}}\right)
\\[5pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,n(n+1)\,}}-\frac{\,1\,}{\,(n+1)(n+2)\,}\right)
\end{eqnarray}\)
③ 消える項と残る項を確認して、和を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\cdot2\,}-\frac{\,1\,}{\,(n+1)(n+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n+3)\,}{\,2(n+1)(n+2)\,}
\end{eqnarray}\)
3つの因数をもつ分数数列の和は、
① 分数数列を部分分数に分ける恒等式を作る。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}-\frac{\,1\,}{\,(k+1)(k+2)\,}
\end{eqnarray}\)
※ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,{\small \text {小中}}\,}-\frac{\,1\,}{\,{\small \text {中大}}\,}\) になるように分ける。
② 部分分数に分けた式に \(k=1\sim n\) までの自然数を代入した項を書き並べる。
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~=&&\left(\frac{\,1\,}{\,1\cdot2\,}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\cdot3\,}}\right)
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\cdot3\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\cdot4\,}}\right)
\\[5pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,n(n+1)\,}}-\frac{\,1\,}{\,(n+1)(n+2)\,}\right)
\end{eqnarray}\)
③ 消える項と残る項を確認して、和を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\cdot2\,}-\frac{\,1\,}{\,(n+1)(n+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n+3)\,}{\,2(n+1)(n+2)\,}
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜3つの因数をもつ分数数列の和
数列 41☆
分数数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}\) を部分分数に分けて求める方法は？
高校数学B｜数列
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}\) を部分分数に分けた式は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}-\frac{\,1\,}{\,(k+1)(k+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(k+2)-(k+1)\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}
\end{eqnarray}\)
よって、恒等式
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}-\frac{\,1\,}{\,(k+1)(k+2)\,}
\end{eqnarray}\)
が成り立つ
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}-\frac{\,1\,}{\,(k+1)(k+2)\,}\right\}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(k=1\sim n\) までの自然数を代入した和を書き並べると、
\(\begin{eqnarray} \require{cancel}~~~=&&\left(\frac{\,1\,}{\,1\cdot2\,}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\cdot3\,}}\right)
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,2\cdot3\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\cdot4\,}}\right)
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,3\cdot4\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,4\cdot5\,}}\right)
\\[5pt]~~~&& ~ ~ \cdots
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,(n-1)n\,}}-\cancel{\frac{\,1\,}{\,n(n+1)\,}}\right)
\\[5pt]~~~+&&\left(\cancel{\frac{\,1\,}{\,n(n+1)\,}}-\frac{\,1\,}{\,(n+1)(n+2)\,}\right)
\end{eqnarray}\)
消えていく項と残る項を確認すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\cdot2\,}-\frac{\,1\,}{\,(n+1)(n+2)\,}
\\[7pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(n+1)(n+2)-2\,}{\,2(n+1)(n+2)\,}
\\[7pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n^2+3n+2-2\,}{\,2(n+1)(n+2)\,}
\\[7pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n^2+3n\,}{\,2(n+1)(n+2)\,}
\\[7pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n+3)\,}{\,2(n+1)(n+2)\,}
\end{eqnarray}\)
