自然数がn個続く群数列

自然数の値を群番号 \(n\) として、初めから数えた項の順番を \(l\) とすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&~1~~|~~~~~2~~~~|~~~~~~~3~~~~~~~~|~~~4
\\[1pt]l~&~|~&~1~~|~~2~~~3~~|~~4~~~5~~~6~~~|~~~7~~~
\\[1pt]a_l~&~|~&~1~~|~~2~~~2~~|~~3~~~3~~~3~~~|~~~4~~~
\end{eqnarray}\)

---

また、各群には群番号と同じく \(n\) 個の項がある

---

自然数 \(10\) が初めて現れるのは第 \(10\) 群となるので、

---

第 \(1\) 群から第 \(9\) 群までの項の個数の和は、自然数の和より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+9
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 9\cdot(9+1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 9\cdot 10
\\[5pt]~~~&=&45
\end{eqnarray}\)

---

よって、第 \(10\) 群の最初の項は \(45+1=46\) 番目である

---

\(\begin{eqnarray}~~~n~&~|~&~~\cdots~~~~~~~9~~~~~~|~~~~~~10~~~~~~~\cdots
\\[1pt]l~&~|~&~~\cdots~~~44~~45~~|~~~46~~47~~~~\cdots
\\[1pt]a_l~&~|~&~~\cdots~~~~9~~~~9~~~|~~~10~~10~~~~\cdots
\end{eqnarray}\)

---

したがって、自然数 \(10\) が初めて現れるのは \(46\) 項目である

 
 

第 \(100\) 項目が第 \(n\) 群にあるとすると、

---

\(n{\small ~≧~}2\) のとき、第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までの項の個数は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+(n-1)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\left\{(n-1)+1\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n
\end{eqnarray}\)

---

また、第 \(1\) 群から第 \(n\) 群までの項の個数は、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\end{eqnarray}\)

---

第 \(100\) 項目が第 \(n\) 群にあることより、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(n-1)\,n\lt &100&{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)
\\[5pt]~~~(n-1)\,n \lt &200&{\small ~≦~}n(n+1)
\end{eqnarray}\)

---

\(13{\, \small \times \,}14=182\) 、\(14{\, \small \times \,}15=210\) より、この不等式を満たす自然数 \( n \) は \( n=14 \) である

---

したがって、第 \(100\) 項は第 \(14\) 群にあるので、

---

　第 \(100\) 項目は \(14\) である