- 数学B｜数列「漸化式で表された数列」の基本例題解説ページです。
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問題｜漸化式で表された数列
数列 46漸化式 \(a_1=2 ~,~ a_{n+1}=3a_n+2\) で定められる数列の初項から第 \(5\) 項までの求め方は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
漸化式で表された数列
Point：漸化式で表された数列
\(n=1~,~n=2~,~n=3~,~n=4\) と代入していくことで、\(a_2~,~a_3~,~a_4~,~a_5\) の値を求めることができる。
数列において、その前の項から次の項をただ1通りで定める規則を示す等式を漸化式という。
漸化式は、すべての自然数 \(n\) について成り立つので、
\(n=1~,~n=2~,~n=3~,~n=4\) と代入していくことで、\(a_2~,~a_3~,~a_4~,~a_5\) の値を求めることができる。
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詳しい解説｜漸化式で表された数列
数列 46
漸化式 \(a_1=2 ~,~ a_{n+1}=3a_n+2\) で定められる数列の初項から第 \(5\) 項までの求め方は？
高校数学B｜数列
漸化式 \(a_{n+1}=3a_n+2\) より、
\(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&3\cdot a_1+2
\\[3pt]~~~&=&3\cdot 2+2\hspace{25pt}(\,∵~ a_1=2\,)
\\[3pt]~~~&=&6+2
\\[3pt]~~~&=&8
\end{eqnarray}\)
\(n=2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_3&=&3\cdot a_2+2
\\[3pt]~~~&=&3\cdot 8+2\hspace{25pt}(\,∵~ a_2=8\,)
\\[3pt]~~~&=&24+2
\\[3pt]~~~&=&26
\end{eqnarray}\)
\(n=3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_4&=&3\cdot a_3+2
\\[3pt]~~~&=&3\cdot 26+2\hspace{25pt}(\,∵~ a_3=26\,)
\\[3pt]~~~&=&78+2
\\[3pt]~~~&=&80
\end{eqnarray}\)
\(n=4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_5&=&3\cdot a_4+2
\\[3pt]~~~&=&3\cdot 80+2\hspace{25pt}(\,∵~ a_4=80\,)
\\[3pt]~~~&=&240+2
\\[3pt]~~~&=&242
\end{eqnarray}\)
したがって、
\( a_1=2~,~a_2=8~,~a_3=26~,~a_4=80~,~a_5=242 \)
