- 数学B｜数列「確率と漸化式」の基本例題解説ページです。
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問題｜確率と漸化式
数列 51サイコロを \(n\) 回投げるとき、1の目が奇数回出る確率 \(p_n\) の求め方は？ただし、\(0\) は偶数とする。
高校数学B｜数列
解法のPoint
確率と漸化式
Point：確率と漸化式
① \( n=1 \) のときの確率 \( p_1 \) を求める。
\( p_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
② \( n \) 回投げたときの確率 \( p_n \) を用いて、\( n+1 \) 回目の確率 \( p_{n+1} \) を求める。
\( n+1 \) 回投げたときに1が奇数回出るのは、
\(\small [\,1\,]\) \( n \) 回投げて1が奇数回
→ \( n+1 \) 回目に1の目以外が出るとき、
\( p_n {\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} \)
\( (1-p_n){\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
③ 和の法則より、\( p_{n+1} \) と \( p_n \) の漸化式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~p_{n+1}&=& \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(1-p_n)
\\[5pt]~~~&=& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
④ 特性方程式を用いる漸化式の解法より、一般式 \( p_n \) を求める。
確率の漸化式の作り方は、
① \( n=1 \) のときの確率 \( p_1 \) を求める。
\( p_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
② \( n \) 回投げたときの確率 \( p_n \) を用いて、\( n+1 \) 回目の確率 \( p_{n+1} \) を求める。
\( n+1 \) 回投げたときに1が奇数回出るのは、
\(\small [\,1\,]\) \( n \) 回投げて1が奇数回
→ \( n+1 \) 回目に1の目以外が出るとき、
\( p_n {\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} \)
\(\small [\,2\,]\) \( n \) 回投げて1が偶数回
→ \( n+1 \) 回目に1の目が出るとき、
\( (1-p_n){\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
③ 和の法則より、\( p_{n+1} \) と \( p_n \) の漸化式をつくる。
\(\begin{eqnarray}~~~p_{n+1}&=& \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}(1-p_n)
\\[5pt]~~~&=& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
④ 特性方程式を用いる漸化式の解法より、一般式 \( p_n \) を求める。
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詳しい解説｜確率と漸化式
数列 51
サイコロを \(n\) 回投げるとき、1の目が奇数回出る確率 \(p_n\) の求め方は？ただし、\(0\) は偶数とする。
高校数学B｜数列
サイコロを \(1\) 回投げて1の目が奇数回出る確率は、
\(p_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \)
また、\( n \) 回投げたとき、
1の目が奇数回出る確率は \( p_n \)
1の目が偶数回出る確率は \( 1-p_n \)
ここで、\( n+1 \) 回投げたとき、1の目が奇数回出る確率 \( p_{n+1} \) は、
\(\small [\,1\,]\) \( n \) 回目までに1の目が奇数回出て、\( n+1 \) 回目に1の目以外が出るとき、
\(\begin{eqnarray}~~~p_n {\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} &=& \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,} p_n
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \( n \) 回目までに1の目が偶数回出て、\( n+1 \) 回目に1の目が出るとき、
\(\begin{eqnarray}~~~(1-p_n){\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} &=& \displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}p_n
\end{eqnarray}\)
この2つの事象があるので、和の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~p_{n+1}&=& \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}p_n+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}p_n\right)
\\[5pt]~~~&=& \displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
これより、\( p_1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}~,~p_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) となるので、
\( p_{n+1}=c~,~\ p_n=c \) とした特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}c+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~6c&=&4c+1
\\[5pt]~~~2c&=&1
\\[5pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}c+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~6c&=&4c+1
\\[5pt]~~~2c&=&1
\\[5pt]~~~c&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\( p_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}p_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) を式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~p_{n+1}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=& \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,\left(p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\( q_n=p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) とおくと、
\( q_{n+1}=p_{n+1}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
\(q_1=p_1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~q_{n+1}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}q_n,\quad q_1=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
初項 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)、公比 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) の等比数列の一般項より、
\(\begin{eqnarray}~~~q_n&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
ここで、\( q_n=p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) より、数列 \(\{p_n\}\) の一般項は、
\(\begin{eqnarray}~~~p_n-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\\[5pt]~~~p_n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^{n-1}
\end{eqnarray}\)
