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問題｜bₙ=aₙ₊₁-aₙと置き換える漸化式
数列 52☆漸化式 \(a_1=1 ~,~ a_{n+1}=2a_n+n\) を \(b_n=a_{n+1}-a_n\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
高校数学B｜数列
解法のPoint
bₙ=aₙ₊₁-aₙと置き換える漸化式
Point：bₙ=aₙ₊₁-aₙと置き換える漸化式
① \(a_{n+1}\) と \(a_n\) の漸化式より、\(a_2\) の値と\(a_{n+2}\) と \(a_{n+1}\) の漸化式を求める。
\(a_{n+1}=2a_n+n\) より、
\(a_2=2\,a_1+1=3\)
\(a_{n+2}=2a_{n+1}+(n+1)\)
② \(a_{n+2}\) の漸化式と \(a_{n+1}\) の漸化式を引き算して、\(b_n\) に置き換える。
\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)+1\)
\(b_n=a_{n+1}-a_n\) より、
\(b_{n+1}=2b_n+1~,~b_1=2\)
③ \(b_n\) の漸化式より、特性方程式を用いて、一般項 \(b_n\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~~~~b_n&=&3\cdot2^{\,n-1}-1
\end{eqnarray}\)
④ \(b_n=a_{n+1}-a_n\) より、数列 \(\{a_n\}\) の階差数列が \(\{b_n\}\) であることから、一般項 \(a_n\) を求める。
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~~~~a_n&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(3\cdot2^{\,k-1}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&3\cdot2^{\,n-1}-n-1
\end{eqnarray}\)
また、\(n=1\) のときも成り立つ。
\(b_n=a_{n+1}-a_n\) と置き換える漸化式は、
① \(a_{n+1}\) と \(a_n\) の漸化式より、\(a_2\) の値と\(a_{n+2}\) と \(a_{n+1}\) の漸化式を求める。
\(a_{n+1}=2a_n+n\) より、
\(a_2=2\,a_1+1=3\)
\(a_{n+2}=2a_{n+1}+(n+1)\)
② \(a_{n+2}\) の漸化式と \(a_{n+1}\) の漸化式を引き算して、\(b_n\) に置き換える。
\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)+1\)
\(b_n=a_{n+1}-a_n\) より、
\(b_{n+1}=2b_n+1~,~b_1=2\)
③ \(b_n\) の漸化式より、特性方程式を用いて、一般項 \(b_n\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~~~~b_n&=&3\cdot2^{\,n-1}-1
\end{eqnarray}\)
④ \(b_n=a_{n+1}-a_n\) より、数列 \(\{a_n\}\) の階差数列が \(\{b_n\}\) であることから、一般項 \(a_n\) を求める。
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~~~~a_n&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(3\cdot2^{\,k-1}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&3\cdot2^{\,n-1}-n-1
\end{eqnarray}\)
また、\(n=1\) のときも成り立つ。
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詳しい解説｜bₙ=aₙ₊₁-aₙと置き換える漸化式
数列 52☆
漸化式 \(a_1=1 ~,~ a_{n+1}=2a_n+n\) を \(b_n=a_{n+1}-a_n\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
高校数学B｜数列
\(a_{n+1}=2a_n+n~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\) より、
\(n=1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_2&=&2a_1+1
\\[3pt]~~~&=&2\cdot1+1=3
\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) を \(n\to n+1\) に書き換えると、
\(\begin{eqnarray}~~~a_{n+2}&=&2a_{n+1}+(n+1)~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
a_{n+2}&=&2a_{n+1}+(n+1) \\
-\big{)}~~~~~~~~~a_{n+1}&=&2a_n+n\\
\hline a_{n+2}-a_{n+1}&=&2\left(a_{n+1}-a_n\right)+1~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(b_n=a_{n+1}-a_n\) とおくと、
\(b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
\(b_1=a_2-a_1=3-1=2\)
\((\,∵~ a_2=3~,~a_1=1\,)\)
これより、\({\small [\,3\,]}\) は \(b_n\) の漸化式となり、
\(\begin{eqnarray}~~~b_{n+1}&=&2b_n+1~,~b_1=2\end{eqnarray}\)
\(b_{n+1}=c~,~b_n=c\) とする特性方程式より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&2c+1
\\[3pt]~~~-c&=&1
\\[3pt]~~~c&=&-1
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&2c+1
\\[3pt]~~~-c&=&1
\\[3pt]~~~c&=&-1
\end{eqnarray}\)
\(b_{n+1}=2b_n+1\) を式変形すると、
\(b_{n+1}+1=2\,(b_n+1)\)
ここで、\(c_n=b_n+1\) とおくと、
\(c_{n+1}=b_{n+1}+1\)
\(c_1=b_1+1=2+1=3\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~c_{n+1}&=&2c_n~,~c_1=3\end{eqnarray}\)
初項が \(3\)、公比が \(2\) の等比数列となるので、
\(c_n=3\cdot2^{n-1}\)
\(c_n=b_n+1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_n+1&=&3\cdot2^{n-1}
\\[3pt]~~~b_n&=&3\cdot2^{n-1}-1
\end{eqnarray}\)
\(b_n=a_{n+1}-a_n\) より、数列 \(\{a_n\}\) は階差数列 \(\{b_n\}\) をもつので、
\(n{\small ~≧~}2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(3\cdot2^{k-1}-1\right)
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}3\cdot2^{k-1}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}1
\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}3\cdot2^{k-1}\) は初項 \(3\)、公比 \(2\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~~~&=&1+\displaystyle \frac{\,3\left(2^{n-1}-1\right)\,}{\,2-1\,}-(n-1)
\\[5pt]~~~&=&1+3\cdot2^{n-1}-3-n+1
\\[3pt]~~~&=&3\cdot2^{n-1}-n-1~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\(n=1\) のとき、\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a_1&=&3\cdot2^0-1-1=3-2=1\end{eqnarray} \)
これより、\(n=1\) のときも \({\small [\,4\,]}\) が成り立つ
したがって、\(a_n=3\cdot2^{n-1}-n-1\) となる
